Capítulo 16 Introdução a números índices
16.1 Definição
Números índices são medidas estatísticas que expressam as variações relativas de preço, quantidade ou valor de um produto, em relação a um período base, permitindo comparações temporais de fenômenos econômicos. Um número índice é uma razão que compara o valor de uma variável em determinado período com seu valor em um período de referência (base), multiplicada por 100:
\[ {Índice = \frac{\text{Valor da variável no período atual}}{\text{Valor da variável no período base}} \times 100} \]
16.2 Características principais
- Expressa variações percentuais
- Facilita comparações entre diferentes períodos
- Elimina a influência das unidades de medida
- Permite análise de tendências econômicas
16.3 Aplicações
Os números índices são empregados em análise econômica, permitindo:
- Comparação temporal de variáveis econômicas
- Análise básica de tendências de preços, quantidades e valores (receitas) de um ou mais produtos
A escolha do método adequado depende do objetivo da análise, da disponibilidade de dados e da importância relativa dos componentes estudados. Os números índices têm ampla aplicação em diversos setores:
Economia
- Índice de Preços ao Consumidor (IPC)}: mede a inflação
- Índice da Bolsa de Valores: acompanha variações do mercado acionário
- Índice de Produção Industrial: monitora a atividade produtiva
Administração Pública
- Índice de Desenvolvimento Humano (IDH): avalia qualidade de vida
- Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA): meta de inflação do Banco Central
Iniciativa privada
- Índices de vendas, produtividade e custos
- Comparação de performance entre filiais
- Análise de market share
16.4 Números índice relativos simples: apenas um produto está sendo analisado.
\[ \text{Relativo de preço} {= \frac{p_t}{p_{t_0}} \times 100}\\ \text{Relativo de quantidade} {= \frac{q_t}{q_{t_0}} \times 100}\\ \text{Relativo de valor (receita)} {= \frac{p_tq_t}{p_{t_0}q_{t_0}} \times 100}\\ \]
Onde:
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
Preço relativo: se o preço do café era R$ 10,00 em 2020 (base) e R$ 12,50 em 2025:
\[\begin{align} PR &= \frac{12,50}{10,00} \times 100 \\ PR &= 125\% \end{align}\]
Interpretação: O preço aumentou 25% em relação ao período base.
Quantidade relativa: se a quantidade de café vendido era 1.000 t em 2020 (base) e 1500 t em 2025:
\[\begin{align} QR &= \frac{1500}{1000} \times 100 \\ QR &= 150\% \end{align}\]
Interpretação: A quantidade vendida aumentou 50% em relação ao período base.
Valor (receita) relativa:
\[\begin{align} VR &= \frac{12,50 . 1500}{10,00 .1000} \times 100 \\ VR &= 187,5\% \end{align}\]
Interpretação: O valor (receita) aumentou 87,50% em relação ao período base.
16.5 Números índice compostos: mais de um produto está sendo analisado (cesta de produtos).
16.5.1 Método dos agregados simples
\[ \text{Relativo de preços} {= \frac{\sum_{i}^{n} p^{i}_t}{\sum_{i}^{n}p^{i}_{t_0}} \times 100}\\ \text{Relativo de quantidades} {= \frac{\sum_{i}^{n} q^{i}_t}{\sum_{i}^{n} q^{i}_{t_0}} \times 100}\\ \text{Relativo de valores (receitas)} {= \frac{\sum_{i}^{n} p^{i}_tq^{i}_t}{\sum_{i}^{n} p^{i}_{t_0}q^{i}_{t_0}} \times 100}\\ \]
Onde:
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
- \(i\) = produtos da cesta
16.5.2 Método dos agregados ponderados
Focado nos preços: as variações nas quantidades são eliminadas
\[ \text{IP (índice de preços)} {=\frac{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_t q^{i}_{t_0}}{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_{t_0} q^{i}_{t_0}} \times 100}\\ \]
Onde:
- IP = índice da variação nos preços da cesta observada entre o período \(t\) em relação ao período base \(t_0\)
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
- \(i\) = produtos da cesta
Interpretação: a variação global observada nos preços da cesta entre os períodos \(t_0\) e \(t\) aumentou (ou reduziu).
- Índice de Laspeyres: as quantidades são fixadas no período base \(t_0\)
\[ \text{IL (índice de Laspeyres)} {=\frac{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_t q^{i}_{t_0}}{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_{t_0} q^{i}_{t_0}} \times 100}\\ \]
Onde:
- IL = índice de Laspeyres da variação nos preços da cesta observada entre o período \(t\) em relação ao período base \(t_0\)
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
- \(i\) = produtos da cesta
- Índice de Paasche: as quantidades são fixadas no período \(t\)
\[ \text{IP (índice de Paasche)} {=\frac{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_t q^{i}_t}{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_{t_0} q^{i}_t} \times 100}\\ \]
Onde:
- IP = índice de Paasche da variação nos preços da cesta observada entre o período \(t\) em relação ao período base \(t_0\)
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
- \(i\) = produtos da cesta
Focado nas quantidades: as variações nos preços são eliminadas
\[ \text{IQ (índice de quantidades)}{=\frac{\sum_{i=1}^{n}q^{i}_t q^{i}_{t_0}}{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_{t_0} q^{i}_{t_0}} \times 100}\\ \]
Onde:
- IQ = índice da variação na quantidade consumida observada entre o período \(t\) em relação ao período base \(t_0\)
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
- \(i\) = produtos da cesta
Interpretação: a variação global das quantidades consumidas da cesta entre os períodos \(t_0\) e \(t\) aumentou (ou reduziu).
Focado nos valores
\[ \text{IV (índice do valor/receita)} {=\frac{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_t q^{i}_{t}}{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_{t_0} q^{i}_{t_0}} \times 100}\\ \]
Onde:
- IV = índice da variação na receita obtida observada entre o período \(t\) em relação ao período base \(t_0\)
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
- \(i\) = produtos da cesta
Interpretação: a variação global da receita da cesta entre os períodos \(t_0\) e \(t\) aumentou (ou reduziu).
16.6 Exemplo completo
Tabela de Dados
| Ano | Produto A | Produto B | ||
|---|---|---|---|---|
| Preço (p) | Qtd (q) | Preço (p) | Qtd (q) | |
| 2020 | 10,00 | 100 | 15,00 | 80 |
| 2021 | 11,00 | 105 | 16,50 | 85 |
| 2022 | 12,50 | 110 | 18,00 | 90 |
| 2023 | 13,80 | 108 | 19,50 | 95 |
| 2024 | 15,00 | 115 | 21,00 | 100 |
16.6.1 Índices Simples (preços, quantidades e valores/receitas)
\[ \text{Relativo de preço} {= \frac{p_t}{p_{t_0}} \times 100}\\ \text{Relativo de quantidade} {= \frac{q_t}{q_{t_0}} \times 100}\\ \text{Relativo de valor (receita)} {= \frac{p_tq_t}{p_{t_0}q_{t_0}} \times 100}\\ \]
Onde:
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
- \(i\) = produtos da cesta
onde \(t\) = período atual e \(0\) = período base (2020).
Relativos de preços do produto A
- 2020: \((10{,}00/10{,}00) \times 100 = 100{,}0\)
- 2021: \((11{,}00/10{,}00) \times 100 = 110{,}0\)
- 2022: \((12{,}50/10{,}00) \times 100 = 125{,}0\)
- 2023: \((13{,}80/10{,}00) \times 100 = 138{,}0\)
- 2024: \((15{,}00/10{,}00) \times 100 = 150{,}0\)
Relativos de preços do poduto B
- 2020: \((15{,}00/15{,}00) \times 100 = 100{,}0\)
- 2021: \((16{,}50/15{,}00) \times 100 = 110{,}0\)
- 2022: \((18{,}00/15{,}00) \times 100 = 120{,}0\)
- 2023: \((19{,}50/15{,}00) \times 100 = 130{,}0\)
- 2024: \((21{,}00/15{,}00) \times 100 = 140{,}0\)
Tabela de Índices Simples de Preços
| Ano | Produto A | Produto B |
|---|---|---|
| 2020 | 100,0 | 100,0 |
| 2021 | 110,0 | 110,0 |
| 2022 | 125,0 | 120,0 |
| 2023 | 138,0 | 130,0 |
| 2024 | 150,0 | 140,0 |
Relativos de quantidades do produto A
- 2020: \((100/100) \times 100 = 100{,}0\)
- 2021: \((105/100) \times 100 = 105{,}0\)
- 2022: \((110/100) \times 100 = 110{,}0\)
- 2023: \((108/100) \times 100 = 108{,}0\)
- 2024: \((115/100) \times 100 = 115{,}0\)
Relativos de quantidades do produto B
- 2020: \((80/80) \times 100 = 100{,}0\)
- 2021: \((85/80) \times 100 = 106{,}25\)
- 2022: \((90/80) \times 100 = 112{,}5\)
- 2023: \((95/80) \times 100 = 118{,}75\)
- 2024: \((100/80) \times 100 = 125{,}0\)
Tabela de Índices Simples de Quantidades
| Ano | Produto A | Produto B |
|---|---|---|
| 2020 | 100,0 | 100,0 |
| 2021 | 105,0 | 106,25 |
| 2022 | 110,0 | 112,5 |
| 2023 | 108,0 | 118,75 |
| 2024 | 115,0 | 125,0 |
Relativos de valor (receita) do produto A
- 2020: \((10{,}00 \times 100)/(10{,}00 \times 100) \times 100 = 1.000{,}00/1.000{,}00 \times 100 = 100{,}0\)
- 2021: \((11{,}00 \times 105)/(10{,}00 \times 100) \times 100 = 1.155{,}00/1.000{,}00 \times 100 = 115{,}5\)
- 2022: \((12{,}50 \times 110)/(10{,}00 \times 100) \times 100 = 1.375{,}00/1.000{,}00 \times 100 = 137{,}5\)
- 2023: \((13{,}80 \times 108)/(10{,}00 \times 100) \times 100 = 1.490{,}40/1.000{,}00 \times 100 = 149{,}04\)
- 2024: \((15{,}00 \times 115)/(10{,}00 \times 100) \times 100 = 1.725{,}00/1.000{,}00 \times 100 = 172{,}5\)
Relativos de valor (receita) do produto B
- 2020: \((15{,}00 \times 80)/(15{,}00 \times 80) \times 100 = 1.200{,}00/1.200{,}00 \times 100 = 100{,}0\)
- 2021: \((16{,}50 \times 85)/(15{,}00 \times 80) \times 100 = 1.402{,}50/1.200{,}00 \times 100 = 116{,}88\)
- 2022: \((18{,}00 \times 90)/(15{,}00 \times 80) \times 100 = 1.620{,}00/1.200{,}00 \times 100 = 135{,}0\)
- 2023: \((19{,}50 \times 95)/(15{,}00 \times 80) \times 100 = 1.852{,}50/1.200{,}00 \times 100 = 154{,}38\)
- 2024: \((21{,}00 \times 100)/(15{,}00 \times 80) \times 100 = 2.100{,}00/1.200{,}00 \times 100 = 175{,}0\)
Tabela de Índices Simples de Valores
| Ano | Produto A | Produto B |
|---|---|---|
| 2020 | 100,0 | 100,0 |
| 2021 | 115,5 | 116,88 |
| 2022 | 137,5 | 135,0 |
| 2023 | 149,04 | 154,38 |
| 2024 | 172,5 | 175,0 |
16.6.2 Índices Agregativos
Índice de Laspeyres
\[ \text{IL (índice de Laspeyres)} {=\frac{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_t q^{i}_{t_0}}{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_{t_0} q^{i}_{t_0}} \times 100}\\ \]
Onde:
- IL = índice de Laspeyres da variação nos preços da cesta observada entre o período \(t\) em relação ao período base \(t_0\)
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
- \(i\) = produtos da cesta
Tabela dos índices de Laspeyres
| Ano | \(\sum(p^{i}_t \cdot q^{i}_{t_0})\) | \(\sum(p^{i}_{t_0} \cdot q^{i}_{t_0})\) | Laspeyres |
|---|---|---|---|
| 2020 | 2.200,00 | 2.200,00 | 100,00 |
| 2021 | 2.420,00 | 2.200,00 | 110,00 |
| 2022 | 2.690,00 | 2.200,00 | 122,27 |
| 2023 | 2.940,00 | 2.200,00 | 133,64 |
| 2024 | 3.180,00 | 2.200,00 | 144,55 |
Índice de Paasche (Preços)
\[ \text{IP (índice de Paasche)} {=\frac{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_t q^{i}_t}{\sum_{i=1}^{n}p^{i}_{t_0} q^{i}_t} \times 100}\\ \]
Onde:
- IP = índice de Paasche da variação nos preços da cesta observada entre o período \(t\) em relação ao período base \(t_0\)
- \(t\) = período estudado
- \(t_0\) = período base
- \(p\) = preço do produto no período
- \(q\) = quantidade do produto no período
- \(i\) = produtos da cesta
Tabela dos índices de Paasche
| Ano | \(\sum(p^{i}_{t} \cdot q^{i}_{t})\) | \(\sum(p^{i}_{t_0} \cdot q^{i}_t)\) | Paasche |
|---|---|---|---|
| 2020 | 2.200,00 | 2.200,00 | 100,00 |
| 2021 | 2.557,50 | 2.325,00 | 110,00 |
| 2022 | 2.995,00 | 2.450,00 | 122,24 |
| 2023 | 3.342,00 | 2.505,00 | 133,41 |
| 2024 | 3.825,00 | 2.650,00 | 144,34 |
Índice de Fisher
\[ F_p = \sqrt{L_p \times P_p} \]
Tabela dos índices de Fisher
| Ano | Laspeyres | Paasche | Fisher |
|---|---|---|---|
| 2020 | 100,00 | 100,00 | 100,00 |
| 2021 | 110,00 | 110,00 | 110,00 |
| 2022 | 122,27 | 122,24 | 122,26 |
| 2023 | 133,64 | 133,41 | 133,52 |
| 2024 | 144,55 | 144,34 | 144,45 |