12.11 Coeficiente de determinação \(R^{2}\)
O coeficiente de determinação amostral (\(R^{2}\)) é uma medida estatística que informa o quanto da variação observada na variável \(Y\) está sendo explicada no modelo pela relação linear estabelecida com a variável \(X\).
\[ R^{2} = \frac{\text{variação explicada}}{\text{variação total}} \\ R^{2}=\frac{b\cdot Sxy}{{S}_{yy}} \]
Exemplo 5: O faturamento de uma loja durante o período de janeiro a gosto de 2010 é dado pela tabela abaixo (milhares de R$). Construa um modelo, calcule a correlação existente, teste a existência da regressão pela ANOVA, a correlação linear obtida, as estimativas de seus coeficientes \(a\) e \(b\) de seus coeficientes \(\alpha\) e \(\beta\), a um nível de significância de 5%
| Meses | (X) | Faturamento (Y) |
|---|---|---|
| Janeiro | 1 | 20 |
| Fevereiro | 2 | 22 |
| Março | 3 | 23 |
| Abril | 4 | 26 |
| Maio | 5 | 28 |
| Junho | 6 | 29 |
| Julho | 7 | 32 |
| Agosto | 8 | 36 |
Sendo \(n= 8\), \(\stackrel{-}{Y}= 27\) e \(\stackrel{-}{x} = 4,5\), calculamos:
\[ S_{xy} = \sum _{i=1}^{n} x_{i}y_{i} - \frac{\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n} = 1063 - \frac{36 \cdot 216}{8} = 91\\ S_{xx} = \sum _{i=1}^{n} x_{i}^{2} - \frac{(\sum _{i=1}^{n} x_{i})^{2}}{n} = 204 - \frac{36^2}{8} = 42\\ {S}_{yy} = \sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2} - \frac{(\sum _{i=1}^{n} y_{i})^{2}}{n}= 6034 - \frac{216^2}{8} = 202 \]
As estimativas dos parâmetros do modelo serão:
\[ b = \frac{S_{xy}}{S_ {xx}} = \frac{91}{42} = 2,166\\ a = \stackrel{-}{y} - b\cdot\stackrel{-}{x} = 27 - 2,166 \cdot 4,50 = 17,253\\ \]
E o modelo toma a seguinte forma:
\[ \hat{y} = 17,253 + 2,166 \cdot x \]
O coeficiente de correlação linear de Pearson é:
\[ r = \frac{{s}_{xy}}{\sqrt{{s}_{xx}\cdot {s}_{yy}}} = \frac{91}{\sqrt{42 \cdot 202}} = 0,9880 \]
| da variação | Graus de liberdade | Soma de quadrados | Quadrados médios | Fcal | Ftab |
|---|---|---|---|---|---|
| REGRESSÃO | k = 1 | b.Sxy = 2, 166.91 = 197, 106 | \(QMREG = \frac{b.S_{xy}}{1}=197,106\) | \(F_{calc}=\frac{QMREG}{QMRES} = 241,84\) | Ftab[1, (n − 2); α] = Ftab[1, 6; 5%] |
| RESÍDUOS | n-k-1 = n-2 = 6 | Syy − b.Sxy = 202 − 2, 166.91 = 4, 894 | \(QMRES = \frac{S_{yy} -b.S{xy}}{n-2} = 0,815\) | – | – |
| TOTAL | k+(n-k-1) = n-1 = 7 | Syy = 202 | – | – |
Conclusão: frente ao resultado da análise dos dados rejeitamos a hipótese nula sob um nível de significância de 5%.
(SIMULADOR 4)
Teste de hipóteses para a correlação linear \(\rho\) :
\[ \begin{cases} H_{0}: \rho = \rho_{0} \\ H_{1}: \rho \ne 0 \end{cases} \]
com \(\rho_{0} =0\). Estatística do teste:
\[ t_{calc}=\frac{r\cdot\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-{r}^{2}}} = \frac{0,9880 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{1-0,9880^2}} = 15,668 \]
Rejeita-se a hipótese nula (\(H_{0}\)) se o valor da estatística for tão extremo que se verifique:
\[ t_{calc} \le {t}_{tab[\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]}\\ \text{ou}\\ t_{calc} \ge {t}_{tab[1-\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]} \]
\[ t_{tab[\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]}={t}_{tab[\frac{0.05}{2};\left(6\right)]}=-2,44 \\ t_{tab[1-\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]}={t}_{tab[1-\frac{0.05}{2};\left(6\right)]}=2,44 \]
Conclusão: frente ao resultado da análise dos dados rejeitamos a hipotese nula sob um nível de significância de 5%.
(SIMULADOR 2 COM t)
Teste de hipóteses para o coeficiente angular \(\beta\):
\[ \begin{cases} H_{0}: \beta = \beta_{0} \\ H_{1}: \beta \ne \beta_{0} \end{cases} \]
com \(\beta_{0} =0\). Estatística do teste:
\[ t_{calc}=\frac{b-\beta_{0}}{s_{b}} \]
com:
\[ s_{b} = \sqrt{\frac{{\hat{\sigma}}^{2}}{{S}_{xx}}} = \sqrt{\frac{\text{QMRES}}{S_{xx}}} \]
\[ t_{calc}= 15,5491 \]
Rejeita-se a hipótese nula (\(H_{0}\)) se:
\[ t_{calc} \le {t}_{tab[\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]} \\ \text{ou}\\ t_{calc} \ge {t}_{tab[1-\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]} \]
\[ t_{tab[\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]}={t}_{tab[\frac{0.05}{2};\left(6\right)]}=-2,44 \\ t_{tab[1-\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]}={t}_{tab[1-\frac{0.05}{2};\left(6\right)]}=2,44 \]
Conclusão: frente ao resultado da análise dos dados rejeita-se a hip´tese nula sob um nível de significância de 5%.
(SIMULADOR 2 COM t)
Teste de hipóteses para o coeficiente linear \(\alpha\):
\[ \begin{cases} H_{0}: \alpha = \alpha_{0} \\ H_{1}: \alpha \ne \alpha_{0} \end{cases} \]
com \(\alpha_{0}=0\). Estatística do teste:
\[ t_{calc}=\frac{a-{\alpha }_{0}}{{s}_{a}} \]
com
\[ s_{a} = \sqrt{\text{QMRES} \cdot \left(\frac{1}{n}+\frac{{\stackrel{-}{x}}^{2}}{{S}_{xx}}\right)}\\ \]
\[ t_{calc}= 24,5268 \]
Rejeita-se a hipótese nula (\(H_{0}\)) se:
\[ t_{calc} \le {t}_{tab[\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]} \\ \text{ou}\\ t_{calc} \ge {t}_{tab[1-\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]} \]
\[ t_{tab[\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]}={t}_{tab[\frac{0.05}{2};\left(6\right)]}=-2,44 \\ t_{tab[1-\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]}={t}_{tab[1-\frac{0.05}{2};\left(6\right)]}=2,44 \]
Conclusão: frente ao resultado da análise dos dados rejeita-se a hip´tese nula sob um nível de significância de 5%.
(SIMULADOR 2 COM t)
O coeficiente de determinação será:
\[ R^{2} = \frac{\text{variação explicada}}{\text{variação total}}\\ R^{2}=\frac{b\cdot Sxy}{{S}_{yy}} = 0,9758 \]
O coeficiente de determinação amostral (\(R^{2}\)) é uma medida estatística que informa, em termos percentuais, o quanto da variação observada na variável \(Y\) está sendo explicada no modelo pela relação linear estabelecida com a variável \(X\). No exemplo em tela, 97,58%.