10.3 Pobabilidades associadas à observação de uma proporção amostral \(\hat{p}\)

Ao se definir a estatística \(Z\) como a simples padronização da variável \(\hat{p}\) vemos que esta seguirá uma distribuição normal com média \(0\) e desvio-padrão \(1\):

\[ Z=\frac{\hat{p}-\pi }{\sqrt{\frac{\pi \left(1-\pi \right)}{n}}} \sim N\left(0,1\right) \]

Essa aproximação da distribuição de uma variável binomial (proporções amostrais \(\hat{p}\)) pela distribuição Normal será tanto mais simétrica e com perfil de um sino quanto vier a atender (\(n\) grande e \(\pi\) não próximo de 0 ou 1) e nos permite determinar probabilidades associadas a proporções amostrais.

Exemplo: um sistema de produção opera de tal maneira que 10% das peças produzidas são defeituosas. Suponha que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades e calcule as probabilidades de que em uma caixa: - tenha mais do que 10% de defeituosas? - tenha menos do que 15% de defeituosas?

Dados do problema: \(\pi=0,10\) e \(n=100\).

Considerando que a proporção populacional \(\pi\) não é extrema (próxima a 0 ou 1) e \((n \cdot \pi)\) e \((n \cdot (1-\pi))\) são maiores que 5, as proporções amostrais \(\hat{p}\) se distribuem, aproximadamente, do modo:

\[ \hat{p} \sim N \left(\mu: \pi ; \sigma^{2}: \frac{\pi \cdot (1- \pi) }{n} \right)\\ \hat{p} \sim N \left(0,10 ; \frac{0,10 \cdot (1- 0,10) }{100} \right)\\ \hat{p} \sim N (0,10; 0,0009) \]

Para se calcular as probabilidades de serem observadas proporções amostrais \(\hat{p}>0,10\) e \(\hat{p}<0,15\), basta-se mapear essas proporções amostrais à distribuição Normal padronizada. Assim, denotando-se uma variável aleatória (as proporções amostrais) \(X \sim n(\mu: 0,1; \sigma^{2}: 0,0009 (\sigma: 0,03))\) segue-se:

\[\begin{align*} P(\hat{p}> 0,10) & = P(X > 0,10 ) \\ & = P\left(\frac{X-0,10}{0,03} > \frac{0,10-0,10}{0,03}\right ) \\ & = P\left(Z >0 \right ) \\ & = 0,50 \end{align*}\]

e

\[\begin{align*} P(\hat{p} < 0,15) & = P(X < 0,15 ) \\ & = P\left(\frac{X-0,15}{0,03} < \frac{0,15-0,10}{0,03}\right ) \\ & = P\left(Z < 1,67\right ) \\ & = 0,9525 \end{align*}\]