6.2 Modelos téoricos do tempo de espera

As distribuições do tempo de espera são outra importante classe de problemas associados com a quantidade de tempo que leva para a ocorrência de um evento específico de interesse. Dentro dessa classe de problemas se enquadram duas distribuições bastante conhecidas, são elas: geométrica e Geométrica negativa.

6.2.1 Geométrica

A distribuição geométrica é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de tentativas independentes necessárias para obter o primeiro sucesso em um processo de Bernoulli, onde cada tentativa tem duas possibilidades: sucesso ou fracasso e a probabilidade de sucesso é constante e denotada por \(p\) sob as seguintes condicionantes:


1- cada experimento é um ensaio de Bernoulli (só poderá haver dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso);
2- cada repetição deve ter seu resultado independente do resuluado das demais;
3- a probabilidade de sucesso (\(p\)) é constante para todas as repetições;
4- consequentemente, a probabilidade de fracasso (\(q=1-p\)) também o é; e,
5- o experimento é repetido segue até que se verifique o primeiro sucesso.

 

Considere o experimento aelatório de se lançar uma moeda não honesta, com probabilidade \(p\) de ocorrência de Cara e \((1-p)\) de ocorrência de Coroa. Se definimos nosso evento de sucesso como sendo obter Cara no lançamento, quantos lançamentos serão necessários para se verificar a ocorrência de sucesso?

 

Admita uma sequência de \(n\) lançamentos: {Coroa, Coroa, …, Coroa, Cara} onde no \(n-ésimo\) lançamento verificou-se o sucesso. Assim sendo, podemos definir \(j=(n-1)\) como o número de tentativas anteriores fracassadas.

 

Uma variável aleatória \(X\) com Distribuição Geométrica, com parâmetro \(p\) (\(0 \le p \le1\)), é aquela que pode assumir infinitos valores numeráveis (\(j=0,1,2, .s, \infty\)) para a quantidade \(j\) de tentativas que precedem o primeiro sucesso, que será observado na tentativa seguinte (\(j+1\)).


Sua representação é \(X\sim geo(p)\) e sua função de probabilidade é:


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) = p . (1-p)^{j} \\ & = P(X=j) = p . q^{j} \end{align*}\]


O Modelo geométrico pode ser escrito sub uma “forma alternativa”: o número de tentativas \(n\) até se observar o primeiro sucesso, agora com \(x=n=1, 2, ...\).}.


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=n) = p . (1-p)^{(n-1)} \\ & = P(X=n) = p . q^{(n-1)} \end{align*}\]

 

A esperança e a variância de uma variável aleatória discreta com Distribuição geométrica (\(X\sim geo(p)\)) são:


  • Esperança: \(E(X) = \frac{1}{p}\)
  • Variância: \(Var(X) = \frac{(1-p)}{p^{2}} = \frac{q}{p^{2}}\).


A distribuição geométrica é frequentemente usada em situações em que estamos interessados em calcular quantas tentativas independentes são necessárias até que um evento específico ocorra. Por exemplo, pode ser usada para modelar o número de lançamentos de uma moeda justa até que a primeira cara apareça, ou o número de tentativas até que um cliente faça sua primeira compra em um site de comércio eletrônico.


Lembrando que o modelo binomial é aplicado sobre a contagem de número de sucessos \(k\) em \(n\) tentativas de Bernoulli; ou seja, o número de tentativas \(n\) é fixo e o número de sucessos \(k\) é aleatório.


Já o modelo geométrico estima o número de tentativas \(j\) até se observar o primeiro sucesso; isto é, o número de sucessos \(k\) é fixo e o número de tentativas \(j\) é aleatório.


Uma variável aleatória geométrica é definida como o número de tentativas até que o primeiro sucesso fosse encontrado e, como essas tentativas são independentes entre si; ie., a probabilidade \(p\) não se altera em razão de terem sido realizadas tentativas anteriores, a contagem do número de tentativas até o próximo sucesso pode ser começada em qualquer tentativa sem alterar a distribuição de probabilidades da variável aleatória. A consequência de usar um modelo geométrico é que o sistema presumivelmente não será desgastado, a probabilidade permanece constante.


Nesse sentido à distribuição geométrica é dita faltar qualquer memória.


Exemplo: A probabilidade de que um bit transmitido através de um canal digital seja recebido com erro é de 0,1. Considere que as transmissões sejam eventos independentes e o erro relativamente raro. Uma variável aleatória discreta pode ser definida como \(X\sim Geo(p)\). Qual a probabilidade de que o primeiro erro na transmissão de um bit ocorra na quinta transmissão?


Uma variável aleatória discreta com Distribuição geométrica pode ser definida para modelar a probabilidade desse experiment aleatório como \(X\sim geo(p)\), onde \(p\) é a probabilidade individual de sucesso (no nosso caso, que o bit seja transmitido com erro).


Dados do problema:

1- a probabilidade de ocorrência de um sucesso (aqui bem entendido como sendo a transmissão de um bit com erro) é \(p=0,1\); e,
2- a probabilidade pedida é a de se observar a ocorrência do primeiro sucesso com 5 repetições (bem entendido aqui que o número de tentativas sem se observar sucesso será \(j=4\) e, em \(j+1=5\) teremos sucesso).


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) = (1-p)^{j} . p \\ P(X=4) & = (1-0,1)^{4} . 0,1 \\ P(X=4) & = 0,0656 \end{align*}\]


A probabilidade de que na quinta transmissão de um bit ocorra um erro é de 6,56%.


p = 0.10
n = 4 # Uma vez que na 5 repetição ocorrerá o 'sucesso' (o bit será transmitido com erro)
dgeom(x = n, prob = p)
## [1] 0.06561

Exemplo: Uma linha de produção está sendo analisada para fins de controle da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade da peça ser defeituosa, determine a probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa entre a \(4^{a}\) e \(6^{a}\) peças produzidas.

 

Uma variável aleatória discreta com Distribuição geométrica pode ser definida para modelar esse experimento aleatório como \(X\sim Geo(p)\) onde \(p\) é a probabilidade individual de sucesso (no caso, a produção de uma peça defeituosa). Pede-se a probabiidade de que essa ocorrência se verifique OU na quarta OU na quinta OU na setxa peça produzida.


Dados do problema:

  • a probabilidade de ocorrência de um sucesso (aqui bem entendido como sendo a produção de uma peça defeituosa) é \(p=0,01\); e,
  • a probabilidade pedida é a de se observar a ocorrência da produção da primeira peça defeituosa com 4, 5 OU 6 repetições.

Assim sendo o número de tentativas sem se ter nenhuma peça produzida com defeito é de \(3 \le j \le 5\) porque assim, em \(j+1\), teremos sucesso na quarta, quinta ou sexta peça produzidas.


Considerando-se que os eventos são disjuntos (ocorrerá na quarta, na quinta ou na sexta), probabilidade pedida será:

\[ P(X=j)_{3 \le j \le 5}= P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \]


A probabilidade de verificarnos sucesso na \(4^{a}\) peça produzida (peça produzida com defeito) será:


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=3) & = (1-0,01)^{3} . 0,01 \\ P(X=3) & = 0.00970299 \end{align*}\]

 

A probabilidade de verificarnos sucesso na \(5^{a}\) peça produzida (peça produzida com defeito) será:

\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=4) & = (1-0,01)^{4} . 0,01 \\ P(X=4) & = 0.00960596 \end{align*}\]

 

A probabilidade de verificarnos sucesso na \(6^{a}\) peça produzida (peça produzida com defeito) será:

\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{k} . p \\ P(X=5) & = (1-0,01)^{5} . 0,01 \\ P(X=5) & = 0.0095099 \end{align*}\]


A probabilidade de termos uma peça produzida com defeito na quarta OU na quinta OU na sexta das peças produzidas será:

\[\begin{align*} P(3 \le j \le 5) & = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \\ P(3 \le j \le 5) & = 0.00970299 + 0.00960596 + 0.00950990\\ P(3 \le j \le 5) & = 0.02881885 \end{align*}\]


A probabilidade de termos uma peça defeituosa na quarta OU na quinta OU na sexta das peças produzidas é de 2,9116%.


p = 0.01
n = c(3,4,5) # Uma vez que na 4, 5 e 6 repetições ocorrerão os 'sucessos' (a produção de uma peça defeituosa)
dgeom(x = n, prob = p)
## [1] 0.00970299 0.00960596 0.00950990


Exemplo 9 A probabilidade de um alinhamento ótico bem sucedido na montagem de produto de armazenamento de dados é de 0,80. Assuma que as tentativas são independentes e responda:
1- Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento bem sucedido requeira exatamente quatro tentativas?
2- Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento bem sucedido requeira no máximo quatro tentativas?
3- Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento bem sucedido requeira ao menos quatro tentativas?


Uma variável aleatória discreta com Distribuição geométrica pode ser definida para modelar esse experimento aleatório como \(X\sim Geo(p)\) onde \(p\) é a probabilidade individual de sucesso .


Dados do problema:

  • a probabilidade de ocorrência de um sucesso (alinhamento ótico bem sucedido na montagem de produto de armazenamento de dados) é \(p=0,80\);
  • o item (1) pede a probabilidade de verificar o primeiro sucesso com exatamente quatro repetições; assim, o número de tentativas sem se observar sucesso é \(j=3\) (em \(j+1=4\) verifica-se sucesso);
  • o item (2) pede a probabilidade de se verificar o primeiro sucesso com no máximo quatro repetições; assim, o número de tentativas sem se observar sucesso é de \(0 \le j \le 3\) (em \(j+1\) teremos sucesso: no primeiro OU no segundo OU no terceiro OU no quarto alinhamentos realizados); e,
  • o item (3) pede a probabilidade de se observar o primeiro sucesso com no mínimo quatro repetições; assim, o número de tentativas sem se observar sucesso é de $3 j $ (em \(j+1\) teremos sucesso: no quarto OU* no quinto OU** sexto .s, alinhamentos realizados).

 

Para o item (1) a probabilidade de termos a ocorrência de um sucesso (ou seja, um alinhamento ótico bem sucedido) na \(4^{a}\) montagem será:


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=3) & = (1-0,80)^{3} . 0,80 \\ P(X=3) & = 0,0064 \end{align*}\]


p = 0.80
n = c(3) # Uma vez que na 4 repetição ocorrerá o 'sucesso' (um alinhamento ótico bem sucedido)
dgeom(x = n, prob = p)
## [1] 0.0064


Para o item (2) considerando-se que as repetições são independentes, a probabilidade pedida será:


\[ P(X=j)_{0 \le j \le 3} = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \]


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=0) & = (1-0,80)^{0} . 0,80 \\ P(X=0) & = 0,80 \end{align*}\]


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=1) & = (1-0,80)^{1} . 0,80 \\ P(X=1) & = 0,16 \end{align*}\]


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=2) & = (1-0,80)^{2} . 0,80 \\ P(X=2) & = 0,032 \end{align*}\]


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=3) & = (1-0,80)^{3} . 0,80 \\ P(X=3) & = 0,0064 \end{align*}\]


A probabilidade pedida é de:

\[\begin{align*} P(X=j)_{0 \le j \le 3} & = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \\ P(X=j)_{0 \le j \le 3} & = 0,9984 \end{align*}\]


p = 0.80
n = c(0,1,2,3) # Uma vez que na 1, 2, 3, e 4 repetições ocorrerão os 'sucessos' (alinhamentos óticos bem sucedidos)
dgeom(x = n, prob = p)
## [1] 0.8000 0.1600 0.0320 0.0064


Para o item (3) considerando-se que os eventos pedidos são disjuntos a probabilidade pedida deverá ser calculada a partir do complemento da probabilidade total menos os eventos que não são de interesse:


\[ P(X=j)_{3 \le j \le \infty} = 1 - P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \]


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=0) & = (1-0,80)^{0} . 0,80 \\ P(X=0) & = 0,80 \end{align*}\]


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=1) & = (1-0,80)^{1} . 0,80 \\ P(X=1) & = 0,16 \end{align*}\]


\[\begin{align*} f(X=x; p) & = P(X=j) \\ P(X=j) & = (1-p)^{j} . p \\ P(X=2) & = (1-0,80)^{2} . 0,80 \\ P(X=2) & = 0,032 \end{align*}\]


A probabilidade é de:

\[\begin{align*} P(X=j)_{3 \le j \le \infty} & = 1 - P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\ P(X=j)_{3 \le j \le \infty} & = 1 - (0,80 + 0,16 + 0,032) \\ P(X=j)_{3 \le j \le \infty} & = 0,008 \end{align*}\]

6.2.2 Binomial Negativa


A distribuição Binomial Negativa (também conhecida como de Distribuição de Pascal em homenagem ao matemático francês Blaise Pascal) pode ser considerada como uma generalização da variável Geométrica, na qual agora considera-se a situação em que se modelam as probabilidades de se verificar mais de um evento de sucesso em um certo número de repetições.


Ao se realizar repetidos experimentos de Bernoulli, uma variável aleatória Binomial Negativa modela as probabilidades de serem observados \(k\) sucessos em \(n\) repetições.


Um experimento que apresenta uma distribuição Binomial Negativa satisfaz aos seguintes pressupostos:


1- cada repetição é um ensaio de Bernoulli (só poderá haver dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso);
2- cada repetição não altera a probabilidade original (há independência entre as repetições);
3- portanto, a probabilidade de sucesso (\(p\)) em cada repetição é constante;
4- e, consequentemente, a probabilidade de fracasso (\(q=1-p\)) em cada repetição também é constante; e,
5- o experimento aleatório prossegue até que sejam verificados \(k\) sucessos (na última repetição terá sido observado o k-ésimo sucesso).


A notação de uma variável aleatória Binomial Negativa é \(X\sim bn(p,k)\), onde o parâmetro \(p\) (\(0 \le p \le1\)) indica a probabilidade individual de sucesso a cada repetição de Bernoulli e \(k\) o número total de sucessos desejado e estabelecido a priori.


Sua função discreta de probabilidade, que calcula a probabilidade de se observar o número \(k\) sucessos estabelecido a priori em \(n\) de ensaios de Bernoulli realizados, é a seguinte:


\[\begin{align*} f(X=n; (p, k)) & = P(X=n; (p,k) = \binom{n-1}{k-1} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{(n-k)} \\ & = \frac{(n-1)!}{ (k-1)! \cdot (n-k)!} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{(n-k)} \end{align*}\]


Como são necessários no mínimo \(k\) tentativas para se obter \(k\) sucessos, os valores de \(n={k, k+1, k+2 ...}\)).


A esperança e a variância de uma variável aleatória discreta com Distribuição Binomial Negativa são:

  • Esperança: \(E(X) = \frac{k}{p}\) ;
  • Variância: \(Var(X) = \frac{k \cdot (1-p)}{p^{2}} = \frac{q \cdot k}{p^{2}}\).


Uma variável aleatória Binomial é uma contagem de número de sucessos \(k\) em \(n\) tentativas de Bernoulli; ou seja, o número de tentativas \(n\) é predeterminado (fixo) e o número de sucessos \(k\) é a variação aleatória. Em \(n\) tentativas a probabilidade de se observar \(k\) sucessos é calculada pela sua função de distribuição discreta de probabilidades.

Uma variável aleatória Binomial Negativa é uma contagem do número de tentativas \(n\) de Bernoulli em \(k\) sucessos; ou seja, o número de sucessos \(k\) é predeterminado (fixo) e o número de tentativas é a variação aleatória. Em \(n\) tentativas a probabilidade de se observar \(k\) sucessos é calculada pela sua função de distribuição discreta de probabilidades.


Exemplo 10: A probabilidade com que um bit transmitido através de um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1 e que as transmissões sejam eventos independentes. Qual a probabilidade de que nas dez primeiras transmissões ocorram quatro erros?


Uma variável aleatória discreta com Distribuição Binomial Negativa pode ser definida para modelar esse experimento aleatório, tal que \(X\sim bn(p,k)\) onde \(p\) é a probabilidade individual de sucesso e \(k\) o número de sucessos estabelecido a priori.


Dados do problema:


1- a probabilidade de ocorrência de um sucesso (aqui bem entendido como sendo a recepção errada de um bit transmitido) é \(p=0,1\); e,
2- o número de sucessos (aqui bem entendido como sendo a recepção errada de um bit transmitido) está definido em \(k=4\).


Pede-se a probabilidade de se observar quatro sucessos (\(k=4\)) em dez (\(n=10\)) transmissões (repetições).


A probabilidade de se observar \(k=4\) sucessos ao se realizar \(n=10\) tentativas de Bernoulli é dada pela função discreta de probabilidade da variável aleatória Binomial Negativa:


\[\begin{align*} f(X=n; (p, k)) & = P(X=10; (p=0,1; k=4)) = \binom{n-1}{k-1} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(n-1)!}{ (k-1)! \cdot (n-k)!} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(10-1)!}{ (4-1)! \cdot (10-4)!} \cdot {0,1}^{4} \cdot {0,9}^{10-4} \\ & = \frac{362880}{ 6 \cdot 720} \cdot 0.0001 \cdot 0.531441 \\ & = 0,004464104 \end{align*}\]


A probabilidade de se observar 4 sucessos em 10 tentativas é de 0,4464104%.


k = 4
n = 10
p = 0.10
x = n-k # Entrar com n-k na função pois ela espera o número de falhas
dnbinom(x = x , size = k, prob = p)
## [1] 0.004464104


Exemplo 11: Bob é um jogador de basquete de uma escola. Ele é um lançador de arremessos livres e sua probabilidade de acertar é igual a 70%. Durante uma partida qualquer, qual a probabilidade de que Bob acerte seu terceiro arremesso livre na seu quinta tentativa?


Uma variável aleatória discreta com Distribuição Binomial Negativa pode ser definida para modelar esse experimento aleatório tal que \(X\sim bn(p,k)\) onde \(p\) é a probabilidade individual de sucesso e \(k\) o número de sucessos estabelecido a priori sob probabilidade constante e igual a p a cada repetição (p, k são os parâmetros do modelo).


Dados do problema:


1- a probabilidade de ocorrência de um sucesso é \(p=0,70\), e
2- o número de sucessos =3$.


Pede-se a probabilidade de se observar três sucessos (\(k=3\)) em cinco (\(n=5\)) arremessos(repetições).

A probabilidade de se obter \(k=3\) sucessos ao se realizar \(n=5\) tentativas é dada pela função discreta de probabilidade da variável Binomial Negativa:


\[\begin{align*} f(X=n; (p; r)) & = P(X=5; (p=0,7; k=3 )) = \binom{n-1}{k-1} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(n-1)!}{ (k-1)! \cdot (n-k)!} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(5-1)!}{ (3-1)! \cdot (5-3)!} \cdot {0,7}^{3} \cdot {0,3}^{5-3} \\ & = \frac{24}{ 2 \cdot 2} \cdot 0.343 \cdot 0.09 \\ & = 0,18522 \end{align*}\]


A probabilidade de Bob acertar 3 arremessos em 5 tentativas é de 18,522%.


k = 3
n = 5
p = 0.70
x = n-k # Entrar com n-k na função pois ela espera o número de falhas
dnbinom(x = x , size = k, prob = p)
## [1] 0.18522


Exemplo 12: Lançamos repetidas vezes uma moeda. Seja \(X\) o número de caras até que consigamos sete coroas. Qual é a probabilidade de que o número de caras seja igual a cinco até que consigamos as sete coroas?


Uma variável aleatória discreta com Distribuição Binomial Negativa pode ser definida para modelar esse experimento aleatório tal que \(X\sim bn(p,k)\) onde \(p\) é a probabilidade individual de sucesso e \(k\) o número de sucessos estabelecido a priori sob probabilidade constante e igual a p a cada repetição (p, k são os parâmetros do modelo).

 

Dados do problema:


  • a probabilidade de ocorrência de um sucesso é \(p=0,5\), e,
  • o número de sucessos é \(k=7\).


Pede-se a probabilidade de se observar sete sucessos (sete Caras) em doze tentativas (sete Caras e cinco Coroas).


A probabilidade de se obter \(k=7\) sucessos ao se realizar \(n=12\) tentativas é dada pela função discreta de probabilidade da variável Binomial Negativa:


\[\begin{align*} f(X=n; p; r) & = P(X=12; p=0.5; k=7 ) = \binom{n-1}{k-1} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(n-1)!}{ (r-1)! \cdot (n-k)!} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(12-1)!}{ (7-1)! \cdot (12-7)!} \cdot {0,5}^{7} \cdot {0,5}^{12-7} \\ & = \frac{39916800}{ 720 \cdot 120} \cdot 0.0078125 \cdot 0.03125 \\ & = 462 \cdot 0.0078125 \cdot 0.03125 \\ & = 0.112793 \end{align*}\]


A probabilidade de se obter 7 sucessos em 12 tentativas é de 11,28%.


k = 7
n = 12
p = 0.50
x = n-k # Entrar com n-k na função pois ela espera o número de falhas
dnbinom(x = x , size = k, prob = p)
## [1] 0.112793


Exemplo 13: Considere o tempo para recarregar o flash de uma câmera de celular. Assuma que a probabilidade de que uma câmera instalada no celular durante sua montagem passe no teste seja de 0.80 e que cada câmera é montada de modo que a probabilidade não se altere (independência). Determine as seguintes probabilidades:
1- de que a segunda falha ocorra na décima câmera testada;
2- de que a segunda falha ocorra no teste de quatro ou menos câmeras; e,
3- o valor esperado do número de câmeras testadas para obter a terceira falha.


Uma variável aleatória discreta com Distribuição Binomial Negativa pode ser definida para modelar esse experimento aleatório tal que \(X\sim bn(p,k)\) onde \(p\) é a probabilidade individual de sucesso e \(k\) o número de sucessos estabelecido a priori sob probabilidade constante e igual a p a cada repetição (p, k são os parâmetros do modelo).


Dados do problema:


  • se a probabilidade de que a câmera montada no celular passe no teste é \(0,80\) a probabilidade de não passar é de (\(1-0,80\)) \(=0,20\);
  • fica bem entendido aqui que o sucesso é a câmera montada no celular não passar no teste, logo \(p=0,20\);
  • no item (1) pede-se a probabilidade de se observar um número de sucessos fixado a priori \(k=2\) em \(n=10\) câmeras testadas (repetições de Bernoulli);
  • no item (2) pede-se a probabilidade de se observar um número de sucessos também fixado a priori em \(k=2\) mas agora no intervalo de \(n \le 4\) câmeras testadas (repetições de Bernoulli); e,
  • o valor esperado para o número de câmeras testadas (repetições de Bernoulli) (\(n=?\)) para que se observ \(k=3\) sucessos.


A probabilidade de se observar \(k=2\) sucessos ao se realizar \(n=10\) tentativas de Berboulli é dada pela função discreta de probabilidade da variável Binomial Negativa:

/

\[\begin{align*} f(X=n; (p,k)) & = P(X=10; (p=0.2; k=2) ) = \binom{n-1}{k-1} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(n-1)!}{ (k-1)! \cdot (n-k)!} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(10-1)!}{ (2-1)! \cdot (10-2)!} \cdot {0,2}^{2} \cdot {0,8}^{10-2} \\ & = \frac{362880}{ 1 \cdot 40320} \cdot 0.04 \cdot 0.1677722 \\ & = 9 \cdot 0.04 \cdot 0.1677722 \\ & = 0.06039799 \end{align*}\]


A probabilidade de se observar \(k=2\) sucessos em \(n=10\) tentativas de Bernoulli é de 6,039%.


As probabilidades de se observar \(k=2\) sucessos ao serem realizadas \(n \le 4\) tentativas é expressa por $P(X=2) P(X=3) P(X=4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)), dadas pela função discreta de probabilidade da variável Binomial Negativa aplicada a:


\[\begin{align*} f(X=n; (p,k)) & = P(X=2; (p=0.2; k=2) ) = \binom{n-1}{k-1} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(2-1)!}{ (2-1)! \cdot (2-2)!} \cdot {0,2}^{2} \cdot {0,8}^{2-2} \\ P(X=2) & = 0,04 \end{align*}\]


\[\begin{align*} f(X=n; (p,k))) & = P(X=3; (p=0.2; k=2)) = \binom{n-1}{k-1} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(3-1)!}{ (2-1)! \cdot (3-2)!} \cdot {0,2}^{2} \cdot {0,8}^{3-2} \\ P(X=3) & = 0,064 \end{align*}\]


\[\begin{align*} f(X=n; (p,k)) & = P(X=4; (p=0.2; k=2) ) = \binom{n-1}{k-1} \cdot {p}^{k} \cdot {q}^{n-k} \\ & = \frac{(4-1)!}{ (2-1)! \cdot (4-2)!} \cdot {0,2}^{2} \cdot {0,8}^{4-2} \\ P(X=4) & = 0,0768 \end{align*}\]


A probabilidade de se obter \(r=2\) sucessos em \(n \le 4\) tentativas é de (\(0,04+0,064+0,0768\)) 18,08%.


O valor esperado (esperança) do número de câmeras testadas para que se observem \(k=3\) sucessos é dado


\[\begin{align*} E(X) & = \frac{k}{p} \\ E(X) & = \frac{3}{0,2} \\ E(X) & =15 \end{align*}\]


O valor esperado (esperança) do número \(n\) de câmeras testadas para que se observem \(r=3\) sucessos é 15