9.2 Intervalos de confiança
Um intervalo de confiança (\(IC\)) pode ser entendido com a faixa de valores delimitada por um mínimo e um máximo, calculados como função direta de um nível de confiança e da variabilidade e inversa da tamanho amostral.
\[ \text{estimativa amostral} \pm confiança.\sqrt\frac{variabilidade}{n} \]
Raramente se dispõe de informação a respeito da variabilidade (\(\sigma^{2}\)) da população estudada. Assim, a variabilidade populacional será frequentemente incorporado na expressão acima, com ligeiras modificações, na forma de sua estimativa amostral (\(S^{2}\)).
De certo modo, um intervalo de confiança reflete uma estimativa objetiva da (im)precisão e do tamanho da amostra de determinada pesquisa e, assim, podemos considerá-lo como uma medida da qualidade da amostra e da pesquisa.
O nível de confiança é designado pela quantidade \((1-\alpha)\) na qual \(\alpha\) é denominado de nível de significância, uma medida da probabilidade de erro.
Dependendo do nível de confiança que escolhemos os limites superior e inferior do intervalo mudam para uma mesma estimativa amostral. Os intervalos de confiança mais utilizados na literatura são os de 90%, 95%, 99% e menos de 99,9%.
O intervalo de confiança de 95% é tradicionalmente o intervalo mais utilizado na literatura e isso está relacionado ao nível de significância estatística (\(P<0,05\)) geralmente mais aceito.
Quanto menor for a amplitude de um intervalo, maior será a precisão da estimativa. Todavia, somente estudos com amostras razoavelmente grandes resultarão em um intervalo de confiança estreito, indicando simultaneamentente com alta precisão e alto grau de confianla a estimativa do parâmetro.
Intervalos de confiança podem ser construídos a quase todas as quantidades estatísticas e suas diferenças (quando se procura estudar se há ou não diferenças entre os parâmetros de duas populaçoes) como, por exemplo:
- médias;
- proporções; e,
- variâncias.
Um intervalo de confiança estabelecido sob certa probabilidade não deve ser interpretado como sendo a faixa de valores, delimitada por um mínimo e máximo, entre os quais o parâmetro da população (o qual se estima ou sobre o qual se infere) se insere.
Mas sim que, extraíndo-se um grande número de amostras de igual tamanho e da mesma população, e construindo-se para cada uma dessas amostras um intervalo de confiança de um mesmo nível de significância (\(\alpha\)), observaremos que uma determinada proporção desses intervalos, chamada de nível de confiança (\(1-\alpha\)) irá, de fato, conter o parâmetro sobre o qual se estima ou sobre o qual se infere. Por conseguinte, uma proporção desses intervalos chamada de nível de significância (\(\alpha\)) não irá conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
Assim, \((1-\alpha)\) traduz o grau de confiança que se tem que um intervalo de confiança, calculado sobre uma estatística advinda de uma particular amostra de tamanho \(n\) da variável aleatória \(X\), inclua o verdadeiro valor do parâmetro da população:
IC.N = function (N, n, mu, sigma, conf) {
dados=data.frame()
plot(0, 0,
type="n",
xlim=c(mu-0.4*mu,mu+0.4*mu),
ylim=c(0,N),
bty="l",
xlab="Escala de valores da variável",
ylab="Intervalos amostrais construídos",
main=paste0("Intervalos com iguais níveis de confiança fixados em ", 100*conf, "% \n(",N," amostras de tamanho ",n,")") ,
sub=paste0("Parâmetros da distribuição da população Normal ( \u03bc, \u03c3) = (",mu,", ", sigma,")"))
abline(v=mu, col='red', lwd=2, lty=2)
#axis(1, at = c(mu-1*mu, mu, mu+1*mu))
zc = qnorm(1-((1-conf)/2))
#sigma.xbarra = sigma/sqrt(n)
for (i in 1:N) {
x = rnorm(n, mu, sigma)
media = mean(x)
erro= media-mu
sd = sd(x)
li = media - zc * sd/(sqrt(n))
ls = media + zc * sd/(sqrt(n))
temp=cbind(mu, media, erro, li, ls)
dados=rbind(dados, temp)
plotx = c(li,ls)
ploty = c(i,i)
if (li > mu | ls < mu) lines(plotx,ploty, col="red", lwd=2, lend=0)
else lines(plotx,ploty, lend=0)
if (li > mu | ls < mu) points(media, i, col="red", cex=1)+text(y=i+3,x=media, labels=round(media,1), cex=1, col='red')
else points(media, i, col="black", cex=1)
}
colnames(dados)=c("mu", "media", "erro", "li", "ls")
return(dados)
}
## mu media erro li ls
## 1 9.421 8.953 -0.468110 7.898 10.008
## 2 9.421 8.833 -0.587553 7.662 10.005
## 3 9.421 8.459 -0.961674 7.587 9.331
## 4 9.421 9.085 -0.335556 8.043 10.128
## 5 9.421 8.602 -0.818795 7.370 9.834
## 6 9.421 9.399 -0.022313 8.270 10.527
## 7 9.421 8.533 -0.887631 7.513 9.554
## 8 9.421 8.835 -0.586377 7.820 9.849
## 9 9.421 9.230 -0.190982 8.103 10.357
## 10 9.421 10.195 0.773813 9.116 11.273
## 11 9.421 9.265 -0.155973 8.158 10.372
## 12 9.421 8.777 -0.643763 7.833 9.721
## 13 9.421 9.195 -0.226478 8.219 10.170
## 14 9.421 9.232 -0.189045 8.208 10.255
## 15 9.421 8.315 -1.106080 7.245 9.385
## 16 9.421 8.850 -0.570926 7.929 9.771
## 17 9.421 10.028 0.606528 8.877 11.178
## 18 9.421 9.595 0.174055 8.418 10.773
## 19 9.421 9.354 -0.067116 8.464 10.244
## 20 9.421 9.062 -0.358986 8.143 9.981
## 21 9.421 8.632 -0.788895 7.691 9.573
## 22 9.421 9.271 -0.150338 8.196 10.345
## 23 9.421 9.208 -0.212552 8.105 10.312
## 24 9.421 9.937 0.515851 8.933 10.940
## 25 9.421 9.843 0.421604 8.633 11.052
## 26 9.421 9.595 0.173627 8.584 10.606
## 27 9.421 8.775 -0.645506 7.861 9.690
## 28 9.421 9.918 0.496879 8.892 10.944
## 29 9.421 10.215 0.793859 9.310 11.120
## 30 9.421 9.740 0.318600 8.905 10.574
## 31 9.421 9.158 -0.263492 8.053 10.262
## 32 9.421 9.980 0.558533 8.924 11.035
## 33 9.421 9.273 -0.148062 8.243 10.303
## 34 9.421 8.613 -0.807575 7.579 9.648
## 35 9.421 9.379 -0.041935 8.324 10.434
## 36 9.421 9.347 -0.074198 8.285 10.409
## 37 9.421 9.341 -0.080191 8.358 10.324
## 38 9.421 9.100 -0.321138 8.207 9.992
## 39 9.421 8.504 -0.916943 7.416 9.592
## 40 9.421 9.975 0.553976 8.853 11.097
## 41 9.421 8.997 -0.423951 7.989 10.005
## 42 9.421 9.325 -0.095669 8.171 10.480
## 43 9.421 9.017 -0.403945 8.044 9.990
## 44 9.421 9.965 0.544198 9.007 10.923
## 45 9.421 9.066 -0.354740 8.075 10.057
## 46 9.421 9.151 -0.269638 7.991 10.312
## 47 9.421 9.384 -0.037300 8.403 10.365
## 48 9.421 9.725 0.304329 8.654 10.797
## 49 9.421 9.621 0.200200 8.534 10.709
## 50 9.421 9.711 0.289587 8.757 10.664
## 51 9.421 10.130 0.709367 9.226 11.035
## 52 9.421 8.871 -0.549906 7.957 9.785
## 53 9.421 9.983 0.561607 8.844 11.121
## 54 9.421 9.292 -0.128993 8.241 10.343
## 55 9.421 9.612 0.190910 8.514 10.710
## 56 9.421 10.682 1.260748 9.564 11.799
## 57 9.421 9.569 0.147977 8.669 10.469
## 58 9.421 9.762 0.340821 8.615 10.908
## 59 9.421 9.739 0.317556 8.697 10.780
## 60 9.421 9.351 -0.069968 8.202 10.500
## 61 9.421 9.813 0.392025 8.847 10.779
## 62 9.421 8.980 -0.441208 7.998 9.961
## 63 9.421 8.652 -0.769368 7.578 9.725
## 64 9.421 9.634 0.213420 8.629 10.640
## 65 9.421 9.668 0.246596 8.672 10.663
## 66 9.421 8.789 -0.631823 7.816 9.762
## 67 9.421 9.779 0.358364 8.834 10.725
## 68 9.421 9.206 -0.215136 8.094 10.318
## 69 9.421 9.154 -0.267280 8.140 10.168
## 70 9.421 10.323 0.901987 9.080 11.566
## 71 9.421 9.500 0.078776 8.513 10.487
## 72 9.421 9.662 0.241256 8.591 10.733
## 73 9.421 9.956 0.535270 9.085 10.827
## 74 9.421 8.791 -0.630072 7.741 9.841
## 75 9.421 10.118 0.696755 9.220 11.016
## 76 9.421 8.800 -0.620981 7.798 9.802
## 77 9.421 9.833 0.411725 8.809 10.857
## 78 9.421 9.059 -0.361670 8.035 10.084
## 79 9.421 10.449 1.027628 9.285 11.612
## 80 9.421 9.702 0.280580 8.596 10.807
## 81 9.421 8.806 -0.615025 7.785 9.827
## 82 9.421 10.005 0.584156 8.914 11.097
## 83 9.421 10.175 0.753837 9.186 11.164
## 84 9.421 9.550 0.129071 8.599 10.501
## 85 9.421 9.423 0.002036 8.422 10.424
## 86 9.421 9.108 -0.313109 8.127 10.089
## 87 9.421 9.317 -0.103913 8.330 10.304
## 88 9.421 9.022 -0.398857 7.996 10.048
## 89 9.421 8.885 -0.536189 7.691 10.078
## 90 9.421 9.255 -0.166292 8.276 10.233
## 91 9.421 9.531 0.110188 8.627 10.435
## 92 9.421 9.577 0.156488 8.395 10.760
## 93 9.421 8.866 -0.555293 7.854 9.878
## 94 9.421 8.466 -0.955350 7.366 9.565
## 95 9.421 8.075 -1.346481 7.127 9.022
## 96 9.421 9.337 -0.084405 8.027 10.646
## 97 9.421 10.269 0.848410 9.165 11.374
## 98 9.421 10.012 0.591484 8.895 11.130
## 99 9.421 9.507 0.085835 8.615 10.399
## 100 9.421 9.214 -0.207022 8.116 10.312
O gráfico acima expõe os intervalos de confiança: \((1-\alpha)\)=95% produzidos para as 100 médias de amostras de tamanho 64 extraídas de uma população com parâmetros \(\mu:\) 9.421 e \(\sigma:\) 4.1681.
A proporção de intervalos amostrais que não contém o verdadeiro valor do parâmetro populacional pode ser visualmente inspecionada pelas linhas em vermelho.
Intervalos de confiança bilaterais: intervalos delimitados por dois valores: mínimo e máximo, para a proporção amostral, dentro do qual todos os valores possuem um mesmo nível de confiança de ocorrência.
Intervalos de confiança unilaterais: intervalos delimitados apenas em um de seus lados, nos quais todos os valores possuem um mesmo nível de confiança. Podem ser limitados à direita por um valor máximo ou limitados à esquerda por um valor mínimo.