9.2 Intervalos de confiança
Um intervalo de confiança (\(IC\)) pode ser entendido com a faixa de valores delimitada por um mínimo e um máximo, calculados como função direta de um nível de confiança e da variabilidade e inversa da tamanho amostral.
\[ \text{estimativa amostral} \pm confiança.\sqrt\frac{variabilidade}{n} \]
Raramente se dispõe de informação a respeito da variabilidade (\(\sigma^{2}\)) da população estudada. Assim, a variabilidade populacional será frequentemente incorporado na expressão acima, com ligeiras modificações, na forma de sua estimativa amostral (\(S^{2}\)).
De certo modo, um intervalo de confiança reflete uma estimativa objetiva da (im)precisão e do tamanho da amostra de determinada pesquisa e, assim, podemos considerá-lo como uma medida da qualidade da amostra e da pesquisa.
O nível de confiança é designado pela quantidade \((1-\alpha)\) na qual \(\alpha\) é denominado de nível de significância, uma medida da probabilidade de erro.
Dependendo do nível de confiança que escolhemos os limites superior e inferior do intervalo mudam para uma mesma estimativa amostral. Os intervalos de confiança mais utilizados na literatura são os de 90%, 95%, 99% e menos de 99,9%.
O intervalo de confiança de 95% é tradicionalmente o intervalo mais utilizado na literatura e isso está relacionado ao nível de significância estatística (\(P<0,05\)) geralmente mais aceito.
Quanto menor for a amplitude de um intervalo, maior será a precisão da estimativa. Todavia, somente estudos com amostras razoavelmente grandes resultarão em um intervalo de confiança estreito, indicando simultaneamentente com alta precisão e alto grau de confianla a estimativa do parâmetro.
Intervalos de confiança podem ser construídos a quase todas as quantidades estatísticas e suas diferenças (quando se procura estudar se há ou não diferenças entre os parâmetros de duas populaçoes) como, por exemplo:
- médias;
- proporções; e,
- variâncias.
Um intervalo de confiança estabelecido sob certa probabilidade não deve ser interpretado como sendo a faixa de valores, delimitada por um mínimo e máximo, entre os quais o parâmetro da população (o qual se estima ou sobre o qual se infere) se insere.
Mas sim que, extraíndo-se um grande número de amostras de igual tamanho e da mesma população, e construindo-se para cada uma dessas amostras um intervalo de confiança de um mesmo nível de significância (\(\alpha\)), observaremos que uma determinada proporção desses intervalos, chamada de nível de confiança (\(1-\alpha\)) irá, de fato, conter o parâmetro sobre o qual se estima ou sobre o qual se infere. Por conseguinte, uma proporção desses intervalos chamada de nível de significância (\(\alpha\)) não irá conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
Assim, \((1-\alpha)\) traduz o grau de confiança que se tem que um intervalo de confiança, calculado sobre uma estatística advinda de uma particular amostra de tamanho \(n\) da variável aleatória \(X\), inclua o verdadeiro valor do parâmetro da população:
IC.N = function (N, n, mu, sigma, conf) {
dados=data.frame()
plot(0, 0,
type="n",
xlim=c(mu-0.4*mu,mu+0.4*mu),
ylim=c(0,N),
bty="l",
xlab="Escala de valores da variável",
ylab="Intervalos amostrais construídos",
main=paste0("Intervalos com iguais níveis de confiança fixados em ", 100*conf, "% \n(",N," amostras de tamanho ",n,")") ,
sub=paste0("Parâmetros da distribuição da população Normal ( \u03bc, \u03c3) = (",mu,", ", sigma,")"))
abline(v=mu, col='red', lwd=2, lty=2)
#axis(1, at = c(mu-1*mu, mu, mu+1*mu))
zc = qnorm(1-((1-conf)/2))
#sigma.xbarra = sigma/sqrt(n)
for (i in 1:N) {
x = rnorm(n, mu, sigma)
media = mean(x)
erro= media-mu
sd = sd(x)
li = media - zc * sd/(sqrt(n))
ls = media + zc * sd/(sqrt(n))
temp=cbind(mu, media, erro, li, ls)
dados=rbind(dados, temp)
plotx = c(li,ls)
ploty = c(i,i)
if (li > mu | ls < mu) lines(plotx,ploty, col="red", lwd=2, lend=0)
else lines(plotx,ploty, lend=0)
if (li > mu | ls < mu) points(media, i, col="red", cex=1)+text(y=i+3,x=media, labels=round(media,1), cex=1, col='red')
else points(media, i, col="black", cex=1)
}
colnames(dados)=c("mu", "media", "erro", "li", "ls")
return(dados)
}
## mu media erro li ls
## 1 9.421 10.392 0.97146 9.345 11.440
## 2 9.421 8.979 -0.44187 7.966 9.992
## 3 9.421 9.796 0.37478 8.773 10.819
## 4 9.421 9.180 -0.24129 8.073 10.286
## 5 9.421 8.402 -1.01880 7.326 9.478
## 6 9.421 10.043 0.62168 8.952 11.134
## 7 9.421 10.024 0.60294 9.056 10.992
## 8 9.421 9.771 0.35029 8.796 10.747
## 9 9.421 8.170 -1.25122 7.198 9.142
## 10 9.421 8.872 -0.54860 7.836 9.909
## 11 9.421 10.080 0.65882 9.294 10.866
## 12 9.421 9.954 0.53311 8.988 10.920
## 13 9.421 9.653 0.23183 8.729 10.577
## 14 9.421 10.257 0.83566 9.335 11.179
## 15 9.421 9.402 -0.01921 8.503 10.300
## 16 9.421 10.205 0.78408 9.070 11.340
## 17 9.421 9.860 0.43898 8.903 10.817
## 18 9.421 9.052 -0.36875 7.917 10.187
## 19 9.421 9.536 0.11458 8.524 10.547
## 20 9.421 9.726 0.30486 8.697 10.755
## 21 9.421 9.196 -0.22486 8.305 10.087
## 22 9.421 9.476 0.05530 8.365 10.587
## 23 9.421 9.163 -0.25779 8.127 10.200
## 24 9.421 9.929 0.50752 8.883 10.974
## 25 9.421 9.113 -0.30840 7.891 10.334
## 26 9.421 9.408 -0.01283 8.454 10.362
## 27 9.421 9.316 -0.10481 8.341 10.291
## 28 9.421 8.926 -0.49518 7.878 9.973
## 29 9.421 9.233 -0.18771 8.270 10.197
## 30 9.421 8.076 -1.34510 7.184 8.968
## 31 9.421 8.635 -0.78551 7.646 9.625
## 32 9.421 10.030 0.60940 8.979 11.082
## 33 9.421 9.598 0.17749 8.467 10.730
## 34 9.421 8.395 -1.02582 7.372 9.418
## 35 9.421 9.500 0.07932 8.312 10.689
## 36 9.421 9.775 0.35364 8.733 10.816
## 37 9.421 9.931 0.50985 8.939 10.922
## 38 9.421 9.121 -0.30045 8.159 10.082
## 39 9.421 10.120 0.69908 9.079 11.162
## 40 9.421 10.393 0.97188 9.249 11.537
## 41 9.421 9.160 -0.26135 8.039 10.280
## 42 9.421 9.154 -0.26731 8.063 10.244
## 43 9.421 9.075 -0.34618 7.903 10.247
## 44 9.421 8.652 -0.76852 7.638 9.667
## 45 9.421 10.022 0.60060 9.073 10.971
## 46 9.421 10.126 0.70524 9.102 11.151
## 47 9.421 9.775 0.35354 8.698 10.851
## 48 9.421 9.773 0.35236 8.631 10.916
## 49 9.421 9.769 0.34832 8.851 10.688
## 50 9.421 8.766 -0.65490 7.654 9.878
## 51 9.421 8.601 -0.81979 7.632 9.570
## 52 9.421 10.340 0.91916 9.398 11.282
## 53 9.421 10.060 0.63917 8.975 11.145
## 54 9.421 10.048 0.62731 9.049 11.048
## 55 9.421 10.215 0.79405 9.177 11.253
## 56 9.421 9.887 0.46595 8.781 10.993
## 57 9.421 10.368 0.94713 9.329 11.407
## 58 9.421 8.838 -0.58319 7.773 9.902
## 59 9.421 9.273 -0.14805 8.169 10.377
## 60 9.421 9.120 -0.30124 8.229 10.011
## 61 9.421 8.898 -0.52329 7.759 10.036
## 62 9.421 10.284 0.86276 9.294 11.274
## 63 9.421 8.637 -0.78386 7.308 9.966
## 64 9.421 9.706 0.28531 8.762 10.651
## 65 9.421 9.343 -0.07848 8.122 10.563
## 66 9.421 9.596 0.17534 8.637 10.555
## 67 9.421 9.391 -0.03017 8.352 10.430
## 68 9.421 8.963 -0.45815 7.860 10.066
## 69 9.421 9.328 -0.09285 8.462 10.195
## 70 9.421 9.568 0.14661 8.519 10.617
## 71 9.421 9.347 -0.07435 8.139 10.554
## 72 9.421 10.283 0.86204 9.419 11.147
## 73 9.421 8.820 -0.60143 7.810 9.829
## 74 9.421 9.820 0.39888 8.833 10.807
## 75 9.421 8.691 -0.73001 7.583 9.799
## 76 9.421 9.564 0.14315 8.601 10.527
## 77 9.421 9.288 -0.13296 8.156 10.420
## 78 9.421 9.936 0.51523 9.005 10.867
## 79 9.421 9.827 0.40603 8.697 10.957
## 80 9.421 9.938 0.51690 8.898 10.977
## 81 9.421 8.962 -0.45909 8.037 9.887
## 82 9.421 8.972 -0.44865 7.918 10.027
## 83 9.421 9.518 0.09662 8.521 10.514
## 84 9.421 10.299 0.87756 9.361 11.236
## 85 9.421 9.223 -0.19794 8.361 10.085
## 86 9.421 9.071 -0.35030 7.824 10.318
## 87 9.421 9.464 0.04307 8.527 10.401
## 88 9.421 9.233 -0.18801 8.332 10.134
## 89 9.421 9.693 0.27247 8.857 10.530
## 90 9.421 9.632 0.21147 8.687 10.578
## 91 9.421 10.362 0.94112 9.298 11.426
## 92 9.421 8.046 -1.37473 7.120 8.973
## 93 9.421 10.581 1.15978 9.468 11.694
## 94 9.421 9.095 -0.32570 8.003 10.187
## 95 9.421 9.774 0.35278 8.892 10.656
## 96 9.421 9.647 0.22646 8.724 10.571
## 97 9.421 10.748 1.32702 9.710 11.786
## 98 9.421 8.541 -0.88014 7.452 9.630
## 99 9.421 8.808 -0.61254 7.662 9.955
## 100 9.421 9.135 -0.28636 8.045 10.225
O gráfico acima expõe os intervalos de confiança: \((1-\alpha)\)=95% produzidos para as 100 médias de amostras de tamanho 64 extraídas de uma população com parâmetros \(\mu:\) 9.421 e \(\sigma:\) 4.1681.
A proporção de intervalos amostrais que não contém o verdadeiro valor do parâmetro populacional pode ser visualmente inspecionada pelas linhas em vermelho.
Intervalos de confiança bilaterais: intervalos delimitados por dois valores: mínimo e máximo, para a proporção amostral, dentro do qual todos os valores possuem um mesmo nível de confiança de ocorrência.
Intervalos de confiança unilaterais: intervalos delimitados apenas em um de seus lados, nos quais todos os valores possuem um mesmo nível de confiança. Podem ser limitados à direita por um valor máximo ou limitados à esquerda por um valor mínimo.