9.1 Distribuições amostrais

Parâmetro é toda medida numérica descritiva de uma população. Quando essas medidas são calculadas sobre amostras extraídas de uma população passam a ser denominadas como estatísticas da população de origem. A média, a mediana, a variância, a proporção amostrais, assim como outras estatísticas amostrais, são exemplos de variáveis aleatórias (v.a.) uma vez que seus valores sofrem variação a cada amostra extraída.

Considere uma população com \(N\) elementos da qual se deseja extrair todas as possíveis amostras de tamanho \(n\). Para cada amostra extraída pode-se calcular uma mesma medida descritiva como, por exemplo, a média ( ou a variância, proporção ). O conjunto dos valores resultantes nos permite analisar como as estimativas amostrais se distribuem em comparação ao parâmetro que estão a estimar.

Essas distribuições são denominadas distribuições amostrais. O estudo das distribuições amostrais é um elemento fundamental na inferência estatística posto possibilitar o estabelecimento de intervalos de confiança relacionados ao valor de um parâmetro que se deseja inferir, a partir de uma estatística proveniente de uma única amostra.

O processo de extração de amostras pode ser com ou sem reposição. A extração com reposição assegura a independência entre os eventos e, eventos independentes são mais facilmente analisados.

O quantidade possível de amostras de tamanho \(n\) extraídas de uma população de tamanho \(N\) é dado por :

• com reposição: \(N^{n}\); e,
• sem reposição: \(C_{(N.n)}\)

Mais adiante veremos que processos de extração de amostras de tamanho \(n\), sem reposição de populações finitas com parâmetros \(\mu\) (média) e \(\sigma^{2}\) (variância) a esperança da v.a. de sua média amostral ainda é dada por:

\[ E(\stackrel{-}{X})=\mu \]

mas sua variância deve ser corrigida de:

\[ Var(\stackrel{-}{X}) =\frac{\sigma^{2}}{n} \]

para:

\[ Var(\stackrel{-}{X}) =\frac{\sigma^{2}}{n} \cdot (\frac{N-n}{N-1}) \]

em que \((\frac{N-n}{N-1})\) é denominado como fator de correção para populações finitas.

Para ilustrar o conceito de distribuição das médias amostrais considere uma situação onde uma empresa produz lâmpadas e a vida útil média, em horas, dessas lâmpadas segue uma distribuição Normal tal que \(VU \sim N (1600, 120)\).

Usando conceitos já explicados em uma unidade anterior podemos determinar o tamanho amostral em função de:

• um erro máximo: \(\varepsilon\)=20 horas;
• um nível de significância estabelecido: \(\alpha\)=0,05; e,
• e alguma informação sobre a medida da variabilidade da variável em estudo: \(\sigma\)=120 horas (no caso, o desvio padrão populacional).

Figure 9.1: Flutuação dos valores médios para diversas amostras extraídas de uma mesma população distribuição \(\sim N (\mu; \sigma)\)

##       mu media     erro   li   ls
## 1   1600  1599  -0.6477 1578 1621
## 2   1600  1598  -2.0288 1579 1617
## 3   1600  1595  -5.3888 1575 1614
## 4   1600  1607   6.8728 1588 1626
## 5   1600  1598  -1.9353 1578 1618
## 6   1600  1618  18.1966 1597 1640
## 7   1600  1595  -4.9912 1574 1616
## 8   1600  1604   4.0105 1586 1622
## 9   1600  1602   1.5241 1582 1621
## 10  1600  1612  11.8238 1593 1631
## 11  1600  1593  -7.1167 1572 1613
## 12  1600  1590  -9.8098 1569 1612
## 13  1600  1601   1.0441 1579 1623
## 14  1600  1594  -6.3678 1574 1614
## 15  1600  1605   4.7410 1585 1624
## 16  1600  1611  11.4604 1594 1629
## 17  1600  1597  -2.6315 1577 1618
## 18  1600  1608   8.2433 1589 1627
## 19  1600  1606   5.5224 1585 1626
## 20  1600  1603   2.8142 1583 1623
## 21  1600  1588 -12.4129 1568 1607
## 22  1600  1602   2.0355 1583 1621
## 23  1600  1596  -4.0088 1576 1616
## 24  1600  1588 -12.1475 1568 1607
## 25  1600  1599  -0.9242 1578 1620
## 26  1600  1597  -3.3663 1575 1618
## 27  1600  1590 -10.2425 1569 1610
## 28  1600  1614  13.8687 1594 1634
## 29  1600  1590  -9.7667 1571 1609
## 30  1600  1604   3.5896 1582 1625
## 31  1600  1590 -10.2593 1571 1609
## 32  1600  1605   5.2752 1585 1626
## 33  1600  1600   0.1087 1581 1619
## 34  1600  1604   4.4559 1584 1624
## 35  1600  1594  -5.7931 1576 1612
## 36  1600  1602   2.0521 1582 1622
## 37  1600  1590  -9.7322 1570 1610
## 38  1600  1608   7.9189 1589 1627
## 39  1600  1606   6.2098 1584 1628
## 40  1600  1608   7.9857 1589 1627
## 41  1600  1605   5.4103 1583 1628
## 42  1600  1614  14.1692 1593 1635
## 43  1600  1607   6.5595 1586 1627
## 44  1600  1599  -0.8341 1582 1616
## 45  1600  1591  -8.7623 1573 1610
## 46  1600  1606   6.2719 1586 1627
## 47  1600  1596  -4.1348 1575 1617
## 48  1600  1611  10.8747 1592 1630
## 49  1600  1590  -9.5782 1571 1610
## 50  1600  1608   7.9356 1589 1627
## 51  1600  1605   5.0568 1585 1625
## 52  1600  1612  12.2684 1594 1631
## 53  1600  1609   8.9928 1589 1629
## 54  1600  1596  -4.1723 1576 1615
## 55  1600  1598  -1.7852 1578 1618
## 56  1600  1615  15.3356 1596 1634
## 57  1600  1604   3.7684 1585 1622
## 58  1600  1595  -4.7192 1575 1615
## 59  1600  1592  -7.5105 1573 1612
## 60  1600  1587 -12.8031 1567 1607
## 61  1600  1617  16.7308 1596 1638
## 62  1600  1608   7.6155 1589 1627
## 63  1600  1601   1.3849 1578 1625
## 64  1600  1613  13.4658 1593 1634
## 65  1600  1586 -14.4262 1567 1604
## 66  1600  1594  -5.9476 1574 1614
## 67  1600  1598  -1.7209 1579 1618
## 68  1600  1607   7.2016 1589 1626
## 69  1600  1613  13.4125 1594 1633
## 70  1600  1594  -5.7202 1574 1615
## 71  1600  1597  -2.8081 1578 1617
## 72  1600  1581 -19.0051 1561 1601
## 73  1600  1579 -21.4932 1557 1600
## 74  1600  1595  -5.4545 1576 1613
## 75  1600  1601   1.3538 1582 1621
## 76  1600  1599  -0.9389 1581 1617
## 77  1600  1599  -0.7367 1582 1616
## 78  1600  1605   4.8469 1585 1624
## 79  1600  1598  -2.0365 1578 1618
## 80  1600  1603   2.8072 1583 1622
## 81  1600  1594  -5.9060 1575 1613
## 82  1600  1613  13.4475 1592 1635
## 83  1600  1592  -7.7342 1574 1610
## 84  1600  1613  12.8658 1594 1632
## 85  1600  1594  -5.5117 1575 1614
## 86  1600  1612  12.0548 1591 1633
## 87  1600  1602   1.9503 1583 1621
## 88  1600  1612  12.0219 1591 1633
## 89  1600  1600  -0.4561 1581 1618
## 90  1600  1605   4.5309 1585 1624
## 91  1600  1597  -3.4719 1576 1617
## 92  1600  1579 -20.5312 1560 1599
## 93  1600  1593  -7.1035 1575 1611
## 94  1600  1610   9.9108 1591 1629
## 95  1600  1596  -4.1108 1578 1614
## 96  1600  1586 -13.5991 1565 1608
## 97  1600  1588 -11.5978 1566 1611
## 98  1600  1604   3.7254 1582 1625
## 99  1600  1603   3.0774 1584 1623
## 100 1600  1616  16.0868 1595 1637

Observa-se no gráfico acima que algumas das amostras (em vermelho), numa proporção igual ao nível de significância estabelecido quando do dimensionamento (5%), geram médias (amostrais) se afastam do valor médio na população mais que o erro estabelecido (20 h).