12.5 Teste de hipóteses para a correlação linear na população
O coeficiente de correlação populacional \(\rho\) sempre é estimado a partir do coeficiente de correlação amostral \(r\). Para se realizar inferências concernentes a \(\rho\) a partir de \(r\) temos que ter o conhecimento da distribuição amostral dos coeficientes de correlação linear \(r\).
Para se testar a existência de correlação na população um teste de hipóteses na estrutura seguinte (bilateral) pode ser proposto:
\[ \begin{cases} H_{0}:\rho = 0 \hspace{0.1cm} \text{, ie. a correlação linear entre X e Y é nula} \\ H_{1}:\rho \ne 0 \hspace{0.1cm} \text{, ie. a correlação linear entre X e Y não é nula} \\ \end{cases} \]
Lembrando que um teste de hipóteses guarda uma certa semelhança a um julgamento: caso não haja indício algum que comprove a culpa do acusado ele é declarado inocente.
Seguindo essa analogia, o indício ou evidência que nos permitirá rejeitar a hipótese nula virá de uma evidência amostral.
A quantificação da relevância da evidência amostral virá de uma estatística calculada (\({t}_{calc}\)) a partir do coeficiente de correlação amostral \(r\) e o tamanho amostral \(n\), que será comparado a um valor limite tabelado (\(t_{tab}\)) da correspondente distribuição da variável aleatória \(T\):
A estatística do teste é:
\[ {t}_{calc}=\frac{r\cdot\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-{r}^{2}}}\\ T \sim t_{(n-2)} \]
Rejeita-se a hipótese nula (\(H_{0}\)) se o valor da estatística for tão extremo que se verifique:
\[ t_{calc} \le {t}_{tab[\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]}\\ \text{ou}\\ t_{calc} \ge {t}_{tab[1-\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]} \] em que \(t_{tab}\) é o quantil associado na distribuição “t” de Student (William Sealy Gosset, 1876-1937) ao nível de significância pretendido (\(\alpha\)) com \((n-2)\) graus de liberdade. O número de graus de liberdade irá determinar qual curva da família dessa distribuição será utilizada, por essa razão, as tabelas apresentam-se individualizadas por nível de significância e graus de liberdade.
As curvas da família “t” possuem simetria em relação a um eixo vertical central. O valor tabelado dessa estatística acha-se associado à área sob ela pois é uma função densidade de probabilidade: a totalidade da área sob essa curva é igual a 1 (probabilidade de 100%)
Assim, se consultarmos em uma tabela o valor “t” para um nível de significância \(\alpha\) qualquer, correspodente assim a um nível de confiança de (\(1-\alpha\)), qualquer veremos que ele será igual, em módulo, ao valor “t” no outro extremo dessa curva.
Por essa razão muitas tabelas apresentam valores dessa estatística sob os títulos de monocaudal ou bicaudal pois estão apresentando os valores para um determinado nível de significância (\(\alpha\)): área sob a curva, situado apenas em um lado (ou subdividido nos dois ramos da curva nas tabelas chamadas “bilaterais”).
O teste de hipótese que iremos realizar é um teste bilateral; assim, o gráfico apropriado para se decidir pela rejeição ou não da hipótese nula assume a forma mostrada nessa simulação.
(SIMULADOR 2 COM t)
12.5.1 Outros testes de hipóteses sobre a correlação linear na população
Outros tipos de testes só podem ser realizados através da estatística \(\zeta\) (zeta) de Fisher. A transformação \(Z\) proposta por Fisher produz uma estatística que possui distribuição aproximadamente Normal. Para essa situação a estatística a ser utilizada é dada por:
\[ \zeta = \frac{1}{2}.ln\frac{(1+r)}{(1-r)} \]
que possui uma distribuição aproximadamente Normal, com média e desvio padrão:
\[ \mu_{\zeta} = \frac{1}{2}.ln\frac{(1+\rho_{0})}{(1-(\rho_{0})} \text{ e } \sigma_{\zeta} = \frac{1}{\sqrt{n-3}}. \] Transformando-se \(\zeta\) em unidades padrão (pela subtração de \(\mu_{\zeta}\) e divisão por \(\sigma_{\zeta}\)), chega-se à estatística tabelada \(z = (Z - \mu_{\zeta}) . \sqrt{n-3}\).
Exemplo 2: Faça o teste de hipóteses para a correlação linear \(\rho\) a partir da correlação amostral \(r\) calculada no exercício dos anúncios de veículos, sob um nível de significância (\(\alpha\)) de 0,05.
No exercício referido obtivemos um valor para a correlação linear de Pearson de \(r=0,9727\). A partir desse valor podemos calcular o valor de nossa estatística \({t}_{calc}\) para o teste:
\[ {t}_{calc}=\frac{r\cdot\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-{r}^{2}}} = 8,38 \]
Rejeitaremos a hipótese nula (\(H_{0}\)) se:
\[ t_{calc} \le {t}_{tab[\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]}\\ \text{ou}\\ t_{calc} \ge {t}_{tab[1-\frac{\alpha }{2};\left(n-2\right)]} \]
Da tabela extraímos o valor de nossa estatística de comparação a um nível de significância \(\alpha=5\%\) e, para um tamanho amostral \(n=6\), temos como graus de liberdade \(n-2=4\) (\(t_{tab}=2,776\)). Vê-se que o valor calculado da estatística “t” encontra-se além dos limites estabelecidos pela estatística de comparação (\(t_{tab}\)) para um nível de significância de \(\alpha=5\%\)
(SIMULADOR 2 COM t)