11.4 Natureza dos erros

Para introduzir os conceitos relacionados aos erros considere uma situação onde uma empresa produz lâmpadas e a vida útil média, em horas, dessas lâmpadas segue uma distribuição Normal tal que $VU \sim N (1600, 120)$.

Se não temos conhecimento algum sobre a real vida útil média dessas lâmpadas e alguém nos afirma que a vida útil é de 1.600 h, para confirmar ou não essa proposição (de um modo ``científico’’) devemos extrair uma amostra.

Usando conceitos já explicados em uma unidade anterior podemos determinar o tamanho amostral em função de:

um erro máximo tolerado: $\varepsilon$=20 horas;
um nível de significância estabelecido: $\alpha$=0,05; e,
e alguma informação sobre a medida da variabilidade da variável em estudo: $\sigma$=120 horas (no caso, o desvio padrão populacional).

$Flutuação dos valores médios para diversas amostras extraídas de uma mesma população distribuição $\sim N (\mu; \sigma)$$

Figure 11.7: Flutuação dos valores médios para diversas amostras extraídas de uma mesma população distribuição $\sim N (\mu; \sigma)$

##       mu media     erro   li   ls
## 1   1600  1595  -4.5606 1576 1615
## 2   1600  1588 -11.5487 1570 1607
## 3   1600  1600   0.1976 1580 1620
## 4   1600  1598  -2.3805 1578 1618
## 5   1600  1606   5.5548 1585 1626
## 6   1600  1607   6.9240 1587 1627
## 7   1600  1599  -1.1558 1581 1617
## 8   1600  1614  13.6985 1594 1633
## 9   1600  1598  -2.0338 1579 1617
## 10  1600  1582 -18.1887 1560 1604
## 11  1600  1589 -11.2907 1570 1607
## 12  1600  1603   3.2179 1584 1622
## 13  1600  1588 -12.0200 1567 1609
## 14  1600  1588 -11.9716 1568 1608
## 15  1600  1602   2.2997 1582 1622
## 16  1600  1599  -1.0017 1577 1621
## 17  1600  1608   8.1276 1587 1629
## 18  1600  1592  -8.0096 1572 1612
## 19  1600  1597  -3.0950 1578 1615
## 20  1600  1590 -10.1361 1571 1608
## 21  1600  1597  -2.8355 1577 1618
## 22  1600  1609   8.9345 1589 1629
## 23  1600  1600  -0.4320 1581 1618
## 24  1600  1600  -0.3062 1578 1621
## 25  1600  1605   5.1129 1585 1625
## 26  1600  1597  -2.7083 1577 1617
## 27  1600  1584 -15.9724 1564 1604
## 28  1600  1591  -9.2973 1572 1610
## 29  1600  1603   3.1010 1583 1624
## 30  1600  1597  -3.0386 1576 1618
## 31  1600  1590  -9.8039 1569 1611
## 32  1600  1593  -6.8264 1574 1612
## 33  1600  1604   4.1742 1586 1623
## 34  1600  1582 -18.2114 1560 1604
## 35  1600  1598  -1.6966 1579 1618
## 36  1600  1593  -6.7529 1571 1616
## 37  1600  1602   1.8596 1582 1622
## 38  1600  1595  -4.6799 1576 1614
## 39  1600  1598  -2.3190 1579 1617
## 40  1600  1594  -6.3596 1573 1614
## 41  1600  1601   0.7168 1582 1619
## 42  1600  1565 -34.8979 1544 1586
## 43  1600  1597  -2.9364 1577 1617
## 44  1600  1608   8.4071 1589 1628
## 45  1600  1598  -2.3850 1577 1618
## 46  1600  1594  -5.6010 1573 1616
## 47  1600  1591  -8.9175 1571 1611
## 48  1600  1620  20.1495 1601 1640
## 49  1600  1603   3.1301 1583 1623
## 50  1600  1610   9.8788 1590 1630
## 51  1600  1601   1.2695 1581 1621
## 52  1600  1612  12.1637 1593 1631
## 53  1600  1605   4.6654 1583 1626
## 54  1600  1596  -4.3355 1578 1613
## 55  1600  1601   1.4139 1583 1620
## 56  1600  1616  16.2812 1597 1636
## 57  1600  1603   3.4765 1584 1623
## 58  1600  1608   7.8432 1587 1629
## 59  1600  1587 -13.0025 1569 1605
## 60  1600  1595  -4.7842 1574 1616
## 61  1600  1587 -13.3086 1567 1606
## 62  1600  1600  -0.4556 1580 1619
## 63  1600  1590  -9.6073 1572 1609
## 64  1600  1613  12.8219 1593 1633
## 65  1600  1614  13.8891 1594 1634
## 66  1600  1598  -2.4593 1576 1619
## 67  1600  1614  13.8851 1595 1633
## 68  1600  1596  -3.9662 1576 1616
## 69  1600  1585 -15.4192 1566 1603
## 70  1600  1599  -0.6441 1581 1618
## 71  1600  1593  -7.3975 1574 1612
## 72  1600  1607   7.3526 1588 1627
## 73  1600  1603   2.8460 1582 1624
## 74  1600  1613  13.1983 1593 1634
## 75  1600  1600  -0.1698 1582 1618
## 76  1600  1603   3.4569 1584 1623
## 77  1600  1610   9.6105 1589 1630
## 78  1600  1584 -15.7962 1565 1603
## 79  1600  1598  -2.4947 1578 1617
## 80  1600  1603   3.1440 1583 1623
## 81  1600  1604   3.7231 1584 1623
## 82  1600  1611  10.7253 1593 1628
## 83  1600  1608   7.5068 1589 1626
## 84  1600  1615  14.9781 1596 1634
## 85  1600  1584 -15.7908 1564 1605
## 86  1600  1600   0.4415 1582 1619
## 87  1600  1582 -17.5067 1563 1602
## 88  1600  1579 -20.9721 1559 1599
## 89  1600  1610   9.5464 1591 1629
## 90  1600  1610  10.4705 1590 1631
## 91  1600  1592  -8.1028 1574 1610
## 92  1600  1593  -6.5755 1575 1612
## 93  1600  1591  -8.8884 1572 1611
## 94  1600  1606   6.0590 1586 1626
## 95  1600  1609   8.8132 1588 1630
## 96  1600  1605   5.0000 1585 1625
## 97  1600  1603   3.0013 1586 1620
## 98  1600  1617  17.4735 1599 1636
## 99  1600  1603   3.1474 1584 1623
## 100 1600  1604   3.7261 1585 1622

Observa-se que algumas das amostras, numa proporção igual ao nível de significância estabelecido quando do dimensionamento (5%), apresentam médias com valores que se afastam do valor médio populacional mais que o erro estabelecido (20 h).

Como já informado anteriormente, um teste de hipóteses é um método quantitativo e não se baseia, sobremaneira, em impressões pessoais ou outros achismos. Os cenários a seguir foram criados apenas para tentar estabelcer um paralelo entre a probabilidade de se obter médias amostrais muito destoantes da média populacional e uma “inclinação subjetiva” em se rejeitar uma afirmação.

Considere que a sua amostra em particular é uma das que não se afasta tanto do valor que lhe afirmaram (a vida útil das lâmpadas é de 1.600 h).

Nessa situação, talvez você não se “convencesse” de que a vida útil média fosse diferente daquilo que lhe informaram e, assim, não iria recusar a afirmação.

Agora considere que a sua amostra em particular é uma das que se afasta muito do valor que lhe afirmaram.

Nessa nova situação, certamente você iria “suspeitar” que a vida útil média é diferente daquilo que lhe informaram e assim, recusar a afirmação.

Na primeira decisão, você não recusou uma afirmação que era, de fato, verdadeira; ao passo que na segunda, você rejeitou uma afirmação que era verdadeira (lembrando que você não sabia que a vida útil média é, de fato, 1.600 h).

Como se vê no quadro abaixo, há dois tipos de erros envolvidos em um teste de hipóteses e suas consequências, muitas vezes, são bem diferentes.

Erro do tipo I e
Erro do tipo II.

Um erro do tipo I ocorre quando o pesquisador rejeita uma hipótese nula quando é verdadeira. A probabilidade (limitada pelo pesquisador) de se incorrer em um erro do tipo I é chamada de nível de significância e é frequentemente denotada pela letra grega $\alpha$.

Um erro do tipo II ocorre quando o pesquisador não rejeita uma hipótese nula que é falsa. A probabilidade de cometer um erro do tipo II, também chamada de poder do teste e é frequentemente denotada pela letra grega $\beta$.

Erros envolvidos na rejeição ou não da hipótese nula
Valor real do parâmetro	Não rejeitar	Rejeitar
(desconhecido)	H₀	H₀

H₀ verdadeira	Decisão correta	Erro do tipo I
	probabilidade associada=(1 − α)	probabilidade associada= α
H₀ falsa	Erro do tipo II	Decisão correta
	probabilidade associada=β	probabilidade associada =(1 − β)

No quadro acima identificam-se:

$\alpha$: a probabilidade associada ao cometimento de um erro do tipo I: rejeitar a hipótese nula sendo ela verdadeira (arbitrado pelo pesquisador, é denominado nível de significância do teste);
$\beta$: a probabilidade associada ao cometimento de um erro do tipo II: não rejeitar a hipótese nula sendo esta falsa;
(1-$\alpha$): o nível de confiança estabelecido para a decisão, a probabilidade associada em não se rejeitar a hipótese nula ($H_{0}$) quando ela é, de fato, verdadeira; e,
(1-$\beta$): o poder do teste, a probabilidade associada em não se aceitar a hipótese nula ($H_{0}$) quando ela é, de fato, falsa.

Qual erro é o pior? Depende!

Por exemplo, se alguém testa a presença de alguma doença em um paciente, decidindo incorretamente sobre a necessidade do tratamento (ou seja, decidindo que a pessoa está doente), pode submetê-lo ao desconforto pelo tratamento (efeitos colaterais) além de perda financeira pela despesa incorrida.

Mas por outro lado, a falha em diagnosticar a presença da doença no paciente pode levá-lo à morte pela ausência de tratamento.

Outro exemplo clássico a ser citado seria o de condenar uma pessoa inocente ou libertar um criminoso.

Como não há uma regra clara sobre qual tipo de erro é o pior recomenda-se quando se usa dados para testar uma hipótese observar com muito cuidado as consequências que podem seguir os dois tipos de erros. Vários especialistas sugerem o uso de uma tabela como a abaixo para detalhar as consequências de um erro Tipo 1 e Tipo 2 em sua análise específica.

Consequências da tomada de decisão face aos erro envolvidos
H₀ explicada	Erro tipo 1: rejeitar H₀ quando verdadeira	Erro tipo II: não rejeitar H₀ quando falsa
O medicamento “A“ não alivia a Condição “B“	O medicamento “A“ não alivia a Condição “B“, mas não é eliminado como opção de tratamento	O medicamento “A“ alivia a condição “B“, mas é eliminado como opção de tratamento
Consequências	Pacientes com Condição “B“ que recebem o Medicamento “A“ não obtêm alívio. Eles podem experimentar piora da condição e/ou efeitos colaterais, até e incluindo a morte. A empresa produtora do medicamento pode enfrentar processos judiciais	Um tratamento viável permanece indisponível para pacientes com Condição “B“. Os custos de desenvolvimento são perdidos. O potencial lucro pela produção do medicamente “A“ pela empresa é eliminado.

É desejável conduzir o teste de um modo a manter a probabilidade de ambos os tipos de erro em um mínimo.

aumentar o tamanho amostral reduz a probabilidade associada ao cometimento de erro do tipo II ($\beta$) e, consequentemente, aumenta o poder do teste ($1- \beta$);
aumentar o nível de significância ($\alpha$) tem implicação direta na probabilidade associada ao cometimento de erro do tipo I todavia reduz a probabilidade associada ao cometimento de erro do tipo II ($\beta$).