4.4 Probabilidade de eventos condicionados

Admita dois eventos definidos sobre o exprimento aleatório de se sortear uma carta de um baralho:

\(A: \{1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K\}_{vermelho}\): cartas vermelhas, e
\(B: \{J, Q, K\}_{qualquer}\): cartas de figuras.

A probabilidade de se sortear aleatoriamente uma carta vermelha é \(P(A)=26/52=0,5\) e a probabilidade de escolher uma carta de figura é \(P(B)=12/52=0,23\).

Se nosso interesse é agora determinar a probabilidade de um evento definido como uma vermelha e de figura ao mesmo tempo ou seja, uma carta que está simultaneamente nos conjuntos \(A\) e \(B\), estamos então interessados na probabilidade da interseção (conectivo \(\cap\)) desses dois eventos: \(P(A \cap B)\).

A interseção acaba impondo restrições no espaço amostral inicial (todas as 52 cartas do baralho):

olhando-se por um prisma vemos que o espaço amostral agora é reduzido para \(A\) (apenas as 26 cartas vermelhas) e, dentro desse novo espaço amostral, estamos interessados nos elementos \(B\) (apenas cartas de figura);
do mesmo modo se olharmos por outro prisma, quando o espaço amostral agora é reduzido para \(B\) (apenas as 12 cartas de figuras) e, dentro desse novo espaço amostral, estamos interessados nos elementos \(A\) (apenas cartas vermelhas);

A probabilidade de um evento \(A\) condicionada à ocorrência prévia de um outro evento \(B\), pode ser entendida como a fração de \(A\) dentro de \(B\), ou seja:

\[ P(\text{ocorreu A, ocorrer B}) = \frac{ P(A \cap B)}{ P(A)}\\ P(\text{foi sorteada uma carta vermelha, sortear-se uma figura})= \frac{6}{12}=0,50 \]

\[ P(\text{ocorreu B, ocorrer A}) = \frac{ P(B\cap A)}{ P(B)}\\ P(\text{foi sorteada uma figura, sortear-se uma carta vermelha})= \frac{6}{12}=0,50 \]

Reescrevendo-se

\[ P(A \cap B) = P(\text{ocorreu A, ocorrer B}) \times P(A)\\ P(B \cap A) = P(\text{ocorreu B, ocorrer A}) \times P(B)\\ P(A \cap B)=P(B \cap A)\\ \]

Dois eventos \(A\) e \(B\) definidos sobre um experimento aleatório qualquer são ditos condicionados quando a ocorrência prévia de um deles impõe uma restrição no espaço amostral do segundo.

A probabilidade de um evento qualquer \(A\) condicionada a um segundo evento \(B\) é representada como \(P(A|B)\).

A barra vertical pode ser “lida” adotando-se termos correlatos que facilitam o entendimento da relação existente, tais como :

probabilidade de \(A\) posto que ocorreu \(B\);
probabilidade de \(A\) admitindo-se que ocorreu \(B\);
probabilidade de \(A\) considerando-se que ocorreu \(B\),

A regra geral da probabilidade de dois eventos condicionados estabelece que:

\[\begin{align*} P(A|B) & = \frac{ P(A\cap B)}{ P(B)} \\ P(B|A) & = \frac{ P(B\cap A)}{ P(A)} \end{align*}\]

sendo \(P(B)>0\) e \(P(A)>0\) nas expressões acima.

Exemplo: Consideremos a Tabela 4.3 que apresenta informações cruzadas do sexo dos alunos e seus respectivos cursos. Vamos definir os eventos Fem:sexo feminino e Est: cursar estatística. Como calcular a probabilidade condicionada de nosso evento de interesse P(Fem|Est) (a probabilidade de um aluno aleatoriamente escolhido ser do sexo feminino, dado que ele cursa estatística)?

\[\begin{align*} P(Fem|Est) & = \frac{ P(Fem \cap Est)}{ P(Est)} \\ & = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \end{align*}\]

Esse cálculo é facilmente entendido observando-se as celulas da distribuição de frequências na Tabela 4.3.

Exemplo: Considerem a Tabela 4.4 que relaciona a ida à praia de uma certa pessoa às condições climáticas do dia.

Table 4.4: Condicionamento de passeios à praia em relação às condições climáticas observadas
Dia	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Foi à praia?	N	S	N	S	S	S	N	N	S	S
Fez sol?	N	S	N	S	N	S	S	N	S	S

Baseado nos dados coletados responda:

1- Qual a probabilidade dessa pessoa ir à praia?
2- Sabendo-se que fez Sol, qual a probabilidade dessa pessoa ir à praia?
3- Os eventos ir à praia e fazer Sol são independentes ou condicionados?

Da Tabela 4.4 extraímos as seguintes probabilidades:

\[\begin{align*} P(IP) & = \frac{6}{10}= 0,60 \\ P(FS) & = \frac{6}{10}= 0,60 \\ P(IP \cap FS) & = \frac{5}{10} \\ & = 0,50 \end{align*}\]

A partir delas podemos calcular a seguinte probabilidade condicionada:

\[\begin{align*} P(IP|FS) & = \frac{ P(IP \cap F)}{ P(FS)} \\ & = \frac{5}{6} \\ & = 0,83 \end{align*}\]

A probabilidade dessa pessoa ir à praia (\(P(IP)\)) é 0,60; mas quando faz Sol a probabilidade (\(P(IP|FS)\)) dela aumenta para 0,83.

Assim, os eventos \(IP\) e \(FS\) são condicionados: essa pessoa vai à praia 60% dos dias analisados; mas, quando faz sol, ela vai em 83% dos dias (a presença de Sol altera a probabilidade dela ir à praia).

Exemplo: Em uma cidade existem 15.000 usuários de telefonia, dos quais 10.000 possuem telefones fixos, 8.000 telefones móveis e 3.000 telefones fixos e móveis. Seja o experimento aleatório de uma operadora de telefone móvel selecionar uma pessoa dessa cidade para oferecer uma promoção do tipo “Fale Grátis de seu Móvel para seu Fixo”.

Responda:

1- Sorteando-se aleatoriamente um cliente dessa operadora, se soubermos antecipadamente que ele tem telefone móvel, qual a probabilidade de esse cliente tenha telefone fixo também?
2- Sabendo-se que ele tem telefone fixo, qual a probabilidade de ele tenha telefone móvel também?

O espaço amostral de todos esses possíveis eventos pode ser ilustrado pelo diagrama de Venn abaixo:

Figure 4.15: Diagrama de Venn do espaço amostral

Do diagrama apresentado na Figura4.15 podemos extrair imediatamente as probabilidades pedidas:

\(P(F|M)\) (probabilidade de ter uma linha fixa sabendo que possui um telefone móvel); e,
\(P(M|F)\) (probabilidade de ter uma linha móvel sabendo que possui um telefone fixo):

\[\begin{align*} P(F|M) & = \frac{n(MF)}{n(M)}\\ & =\frac{3000}{8000}\\ & = 0,375 \end{align*}\]

\[\begin{align*} P(M|F) & = \frac{n(MF)}{n(F)} \\ & =\frac{3000}{10000} \\ & = 0,300 \end{align*}\]

Mas também podemos calcular as probablidades do modo como explicado no começo desta sessão. Definindo-se os eventos \(F:\) telefone fixo e \(M:\) telefone móvel, a primeira pergunta pede \(P(F|M)\):probabilidade de ter um telefone fixo sabendo que ele tem um telefone móvel:

\[\begin{align*} P(F|M) & = \frac{P(F \cap M)}{P(M)} \\ & = \frac{ \frac{3000}{15000} }{\frac{8000}{15000} }\\ & = 0,375. \end{align*}\]

A segunda pede \(P(M|F)\): probabilidade de ter um telefone móvel sabendo que ele tem um telefone fixo:

\[\begin{align*} P(M|F) & = \frac{P(M \cap F)}{P(F)} \\ & = \frac{ \frac{3000}{15000} }{\frac{10000}{15000} } \\ & = 0,300 \end{align*}\]

Exemplo: Considere a Tabela 4.5 onde são expostos os resultados de uma pesquisa relacionada ao gosto pela prática de tênis entre alunos e alunas. Definindo-se os eventos \(A\):“gostar de tênis” e \(B\):“ser do sexo feminino”, calcule as probabilidade pedidas ao se sortear, aleatoriamente, uma das pessoas pesquisadas.

1- Qual a probabilidade de que goste de tênis (\(P(T)\))?
2- Qual probabilidade de que não goste de tênis (\(P(T^{c})\))?
3- Qual a probabilidade de que seja do sexo feminino ou goste de tênis: (\(P(F \cup T)\))?
4- Sabendo-se que foi sorteada uma aluna, qual a probabilidade de que goste de tênis (\(P(T|F))\)?
5- Verifique se os eventos \(T\): “gostar de tênis” e \(F\):“ser do sexo feminino” são condicionados ou independentes (\(P(T \cap F) \stackrel{?}{=} P(T) \times P(F)\)))

Table 4.5: Distribuição da quantidade de alunos segundo seu sexo e a preferência por tênis
	Sexo
Curso
	Masculino (M)	Feminino (F)	Total
Gostam de tênis (T)	400	200	600
Não gostam de tênis (NT)	50	50	100
Total	450	250	700

Exemplo: Imagine que um jogador está treinando cobranças de pênaltis. Historicamente a probabilidade de acertar uma cobrança, supondo que acertou a anterior é de 60%. Mas, se ele tiver errado a anterior a probabilidade de acertar cai para 30%. Construa a distribuição de probabilidades do número de acertos em 3 tentativas de cobrança.

Figure 4.16: Diagrama em árvore das três repetições dependentes de um pênalti

A seguir vemos a cadeia de eventos necessária para que cada contagem de gols se verifique:

\[\begin{align*} \text{0 GOL} & = [E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}] \\ \text{1 GOL} & = \{ [A_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}] \cup [E_{1} \cap A_{2} \cap E_{3}] \cup [E_{1} \cap E_{2} \cap A_{3}] \}\\ \text{2 GOLS} & = \{ [A_{1} \cap A_{2} \cap E_{3}] \cup [E_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}] \cup [A_{1} \cap E_{2} \cap A_{3}] \}\\ \text{3 GOLS} & = [A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}] \\ \end{align*}\]

A probabilidade associada a cada contagem de gols será:

\[\begin{align*} P(\text{0 GOL}) & = P[E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}] \\ P(\text{1 GOL}) & = P\{ [A_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}] \cup [E_{1} \cap A_{2} \cap E_{3}] \cup [E_{1} \cap E_{2} \cap A_{3}] \}\\ P(\text{2 GOLS}) & = P\{ [A_{1} \cap A_{2} \cap E_{3}] \cup [E_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}] \cup [A_{1} \cap E_{2} \cap A_{3}] \}\\ P(\text{3 GOLS}) & = P[A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}] \\ \end{align*}\]

A partir do enunciado, podemos deduzir as probabilidades de cada um dos eventos:

\[\begin{align*} P(A_{1}) & = 0,50 \\ P(E_{1}) & = 0,50\\ P(A_{i+1}|A_{i}) & =0,60 \text{ logo, pelo complementar, } P(E_{i+1}|A_{i})=0,40\\ P(A_{i+1}|E_{i}) & =0,30 \text{ logo, pelo complementar } P(E_{i+1}|E_{i})=0,70\\ \end{align*}\]

\[\begin{align*} P(\text{0 GOL}) & = P[E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}] \\ P(\text{0 GOL}) & = P[E_{1}] \times P[E_{2}|E_{1}] \times P[E_{3}|E_{2}] \\ P(\text{0 GOL}) & = 0,50 \times 0,70 \times 0,70 \\ P(\text{0 GOL}) & = 0,245 \end{align*}\]

\[\begin{align*} P(\text{3 GOLS}) & = P[A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}] \\ P(\text{3 GOLS}) & = P[A_{1}] \times P[A_{2}|A_{1}] \times P[A_{3}|A_{2}] \\ P(\text{3 GOLS}) & = 0,50 \times 0,60 \times 0,60 \\ P(\text{3 GOLS}) & = 0,18 \end{align*}\]

\[\begin{align*} P(\text{1 GOL}) & = P\{ [A_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}]\} + P\{ [E_{1} \cap A_{2} \cap E_{3}]\} + P\{[E_{1} \cap E_{2} \cap A_{3}]\}\\ P(\text{1 GOL}) & = P[A_{1}] \times P[E_{2}|A_{1}] \times P[E_{3}|E_{2}] +\\ & P[E_{1}] \times P[A_{2}|E_{1}] \times P[E_{3}|A_{2}] +\\ & P[E_{1}] \times P[E_{2}|E_{1}] \times P[A_{3}|E_{2}]\\ P(\text{1 GOL}) & = 0,50 \times 0,40 \times 0,70 +\\ & 0,50 \times 0,30 \times 0,40 +\\ & 0,50 \times 0,70 \times 0,30 \\ P(\text{1 GOL}) & =0,305 \end{align*}\]

\[\begin{align*} P(\text{2 GOLS}) & = P\{ [A_{1} \cap A_{2} \cap E_{3}]\} + P\{ [E_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}]\} + P\{[A_{1} \cap E_{2} \cap A_{3}]\}\\ P(\text{2 GOLS}) & = P[A_{1}] \times P[A_{2}|A_{1}] \times P[E_{3}|A_{2}] +\\ & P[E_{1}] \times P[A_{2}|E_{1}] \times P[A_{3}|A_{2}] +\\ & P[A_{1}] \times P[E_{2}|A_{1}] \times P[A_{3}|E_{2}]\\ P(\text{2 GOLS}) & = 0,50 \times 0,60 \times 0,40 +\\ & 0,50 \times 0,30 \times 0,60 +\\ & 0,50 \times 0,40 \times 0,30 \\ P(\text{2 GOLS}) & =0,27 \end{align*}\]