13.3 Processos estocásticos temporais, espaciais e espaçotemporais
Como um modelo, um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias \(\{X_\theta\}\), indexada por um parâmetro \(\theta\), onde \(\theta\) pertence a algum conjunto de índices \(\Theta\) e a natureza do processo estocástico pode ser temporal, espacial ou espaçotemporal.
13.3.1 Processos Estocásticos Temporais
Em um processo estocástico temporal o parâmetro de índice (\(\Theta\)) representa o tempo: \(\{X_t : t \in T \}\).
Se \(\Theta\) for um conjunto de números inteiros, representando pontos específicos no tempo como no \(1^{o}s\) ou no \(3^{o}s\), teremos um processo estocástico em tempo discreto e a notação mais utilizada é:
\[ \{X_t : t \in \mathbb{Z}_{+}\} \]
Se \(\Theta\) for a reta real (ou algum intervalo da reta real) como um intervalo contínuo de tempo como em \(0.1s\) ou em \(3s\), teremos um processo estocástico em tempo contínuo e a notação mais utilizada é:
\[ \{X_t : t \in [0, \infty] \} \]
13.3.2 Processos Estocásticos Espaciais
Em um processo espacial, o conjunto de índices \(\Theta\) não representa mais o tempo, mas sim localizações no espaço e passa a ser representado por um vetor, descrevendo posições em um espaço de uma ou mais dimensões. Esse tipo de processo é frequentemente representado por:
\[ \{X_{\mathbf{s}} : \mathbf{s} \in D \} \]
em que:
- \(X_{s}\): Variável aleatória associada ao ponto espacial representado por \(s\).
- \(s\): Vetor de coordenadas espaciais, por exemplo, \((u, v)\) no caso de um plano ou \((u, v, z)\) no espaço.
- \(D\): Domínio espacial, que pode ser um subconjunto de \(\mathbb{R}^2\) (no plano) ou \(\mathbb{R}^3\) (no espaço tridimensional).
Se o domínio espacial \(D\) for discreto, representando pontos específicos no espaço (ex.: coordenadas de uma grade regular em um mapa), teremos:
\[ \{X_{\mathbf{s}} : \mathbf{s} \in \mathbb{Z}^2 \} \]
Se o domínio espacial \(D\) for contínuo, representando qualquer ponto em uma região do espaço (ex.: temperatura em qualquer ponto de uma superfície contínua), teremos:
\[ \{X_{\mathbf{s}} : \mathbf{s} \in \mathbb{R}^2 \} \]
13.3.3 Processos Estocásticos Espaçotemporais
Em alguns casos, podemos ter processos que evoluem no tempo e no espaço simultaneamente. Estes são chamados de processos espaço-temporais, frequentemente representados por::
\[ \{X_{t, \mathbf{s}} : t \in T, \mathbf{s} \in D \} \]
em que:
- \(X_{t, \mathbf{s}}\): Variável aleatória associada ao instante \(t\) na posição espacial \(\mathbf{s}\).
- \(t\): Índice temporal.
- \(\mathbf{s}\): Índice espacial (vetor de coordenadas no espaço).
- \(T\): Intervalo de tempo de interesse.
- \(D\): Região espacial de interesse.
O domínio espacial (\(D\)) pode ser discreto (ex.: pontos específicos em uma grade regular, \(\mathbb{Z}^2\)) ou contínuo (ex.: qualquer ponto em uma superfície, \(\mathbb{R}^2\)).
Da mesma forma, o domínio temporal (\(T\)) pode ser discreto (ex.: momentos específicos, \(\mathbb{Z}\)) ou contínuo (ex.: qualquer instante ao longo de um intervalo, \(\mathbb{R}\)).