2.8 Noções básicas sobre somatórios (\(\Sigma\))

Somatório é um operador matemático utilizado para simplificar expressões que envolvam soma de mais de um elemento.

Digamos, por exemplo, que estamos interessados saber o total de comissões a pagar em um determinado setor de uma empresa.

Admita que esse setor tenha 6 funcionários: Pedro, Guilherme, Lucas, Maria, Fernanda e Roberto e que suas comissões sejam R$ 3000; R$ 3300; R$ 3900; R$ 2950; R$ 3150 e R$ 3450.

A representação da soma das comissões pode ser expressa de vários modos como, por exemplo, nesse extensa frase:

O total de comissões a pagar em um determinado setor de uma empresa é a Renda do Pedro mais a Renda do Guilherme mais a Renda do Lucas mais a Renda da Maria mais a Renda da Fernanda mais Renda do Roberto.

Atribuindo os valores para cada uma das rendas:

O total de comissões a pagar em um determinado setor de uma empresa é: : R$ 3000 + R$ 3300 + R$ 3900 + R$ 2950 + R$ 3150 + R$ 3450.

Chamando-se “O total de comissões a pagar em um determinado setor de uma empresa é” de \(X\), teremos:

\(X\) = R$ 3000 + R$ 3300 + R$ 3900 + R$ 2950 + R$ 3150 + R$ 3450.

Para simplificar a representação dessa operação, vamos enumerar os funcionários: Pedro (1), Guilherme (2), Lucas (3), Maria (4), Fernanda (5) e Roberto (6). Além disso, vamos chamar a comissão a ser paga pela letra X.

Para diferenciar a fração da comissão \(X\) a ser paga a cada um dos funcionários podemos por um índice na letra \(X\) para indicar a quem estamos nos referindo. Assim \(X_{1}\) seria a comissão do Pedro, \(X_{2}\) a do Guilherme, \(X_{3}\) a do Lucas, \(X_{4}\) a da Maria, \(X_{5}\) a da Fernanda e \(X_{3}\) a do Roberto.

Com essa notação podemos representar matematicamente o total das comissões a pagar em um determinado setor de uma empresa por:

\(X=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}+X_{6}\)

Cada um desses fatores pode ser generalizado como um \(X_{i}\), a comissão de um i-ésimo funcionário qualquer. Sabendo que o setor tem apenas 6 funcionários (Pedro, Guilherme, Lucas, Maria, Fernanda e Roberto) então esse i irá variar de 1 a 6 (Pedro:1, Guilherme: 2, Lucas: 3, Maria: 4, Fernanda: 5 e Roberto: 6).

Com todas essas considerações podemos representar a soma das comissões utilizando a notação matemática do somatório.

A letra grega maiúscula \(\Sigma\) (“sigma”) é habitualmente adotada na matemática para representar o somatório de uma quantidade de fatores. Assim, nosso exemplo da soma de 6 fatores (comissões) pode ser representada matematicamente por:

\[ \sum_{i=1}^{6}{X_{i}} = X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}+X_{6} \]

Observe que abaixo da letra \(\Sigma\) (“sigma”) vemos \(i=1\) indicando que o índice dos fatores (X) a serem somados (a i-ésima comissão) irá se iniciar pela comissão do primeiro funcionário, quando então i = 1.

Acima da letra \(\Sigma\) (“sigma”) vemos o número \(6\) indicando que o índice dos fatores (X) a serem somados irá se dar até o valor da comissão do sexto funcionário, quando então i=6.

Generalizando-se para uma soma de \(n\) fatores \(X\):

\[ \sum_{i=1}^n{X_{i}}. \]

A representação matemática do somatório pode ser inserida junto a qualquer outra operação como, por exemplo, podemos, depois de realizar a soma, dividi-la por um valor \(n\) qualquer

\[ \frac{\sum_{i=1}^n{X_{i}}}{n} \\ \]

ou elevá-la ao quadrado:

\[ \left(\sum_{i=1}^n{X_{i}}\right)^{2} \]

Atenção para a diferença entre essas duas operações:

\[ \left(\sum_{i=1}^n{X_{i}}\right)^{2} \]

e

\[ \sum_{i=1}^n{X_{i}^{2}} \]

A primeira indica que devemos realizar a soma dos fatores e só então elevar esse resultado ao quadrado. A segunda indica que devemos realizar a soma dos quadrados de cada um dos fatores.

library(formattable)
comissoes=c(3000, 3300, 3900, 2950, 3150, 3450)

#Somatório das comissões
currency(sum(comissoes),
  symbol = "R$",
  digits = 2L,
  format = "f",
  big.mark= ".",
  decimal.mark= ",",
  sep= " ")

## [1] R$ 19.750,00

#Somatório das comissões dividido pelo número de comissões
currency(sum(comissoes)/length(comissoes),
  symbol = "R$",
  digits = 2L,
  format = "f",
  big.mark= ".",
  decimal.mark= ",",
  sep= " ")

## [1] R$ 3.291,67

#Quadrado do somatório das comissões
currency(sum(comissoes)^2,
  symbol = "R$",
  digits = 2L,
  format = "f",
  big.mark= ".",
  decimal.mark= ",",
  sep= " ")

## [1] R$ 390.062.500,00

#Somatório dos quadrados das comissões
currency(sum(comissoes^2),
  symbol = "R$",
  digits = 2L,
  format = "f",
  big.mark= ".",
  decimal.mark= ",",
  sep= " ")

## [1] R$ 65.627.500,00