4.6 Probabilidade de eventos independentes (regra da cadeia)

Se \(E_{1}\), \(E_{2}\), …, \(E_{n}\) são eventos independentes entre si, então:

Para que isso se verifique, a independência entre cada um e todos os eventos deve se verificada. Numa situação de três eventos, por exemplo, teríamos que observar:

\[ P (E_{1} \cap E_{2})= P(E_{1}) \times P(E_{2}) \]

\[ P (E_{1} \cap E_{3})= P(E_{1}) \times P(E_{3}) \]

\[ P (E_{2} \cap E_{3})= P(E_{2}) \times P(E_{3}) \]

\[ P (E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3} )= P(E_{1}) \times P(E_{2}) \times P(E_{3}) \]

Exemplo: considere o experimento aleatório de se lançar dois dados e obter o valor 1 no primeiro deles e 5 no segundo (defina os eventos \(E_{1}= \text{sair face 1}\) e \(E_{5}=\text{sair face 5}\)).

Solução:

Quando lançamos dois dados o resultado obtido em um deles (o valor numérico da face) não condiciona ou altera o resultado obtido no outro: os resultados são são independentes. Desse modo, sendo \(P(E_{1})=\frac{1}{6}\) e \(P(E_{5})=\frac{1}{6}\):

\[\begin{align*} P(E_{1} \cap E_{5}) & = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}\\ & = \frac{1}{36}. \end{align*}\]

Exemplo: Uma empresa que compra produtos de dois fabricantes diferentes (Fabricante 1 e Fabricante 2}) adquiriu 168 unidades do primeiro e 84 do segundo. Sabendo que 8 unidades fabricadas pelo primeiro fornecedor não atenderam às especificações e apenas 4 do segundo, verifique se o fato de uma amostra ter atendido às especificações independe de ter sido produzida pelo Fabricante 1.

Solução:

Para a primeira verificação pedida defina os eventos \(Fab1:\) ter sido produzida pelo Fabricante 1, \(Aprov:\) ter atendido às especificações e \(Fab2:\) ter sido produzida pelo Fabricante 2. Na sequência podemos calcular as seguintes probabilidades:

\[\begin{align*} P(Fab1) & = \frac{168}{252} \\ & = 0,6666 \\ P(Aprov) & = \frac{240}{252} \\ & = 0,9523 \\ P(Fab1 \cap Aprov) & = \frac{160}{252} \\ & = 0,6349 \end{align*}\]

Se o fato de uma amostra ter sido aprovada independe de ter sido produzida pelo Fabricante 1 então \(P(Aprov|Fab1) = P(Aprov)\):

\[\begin{align*} P(Aprov|Fab1) & = \frac{P(Aprov \cap Fab1)}{P(Fab1)} \\ & = \frac{0,6349}{0,6666} \\ & = 0,9523. \end{align*}\]

Como \(P(Aprov|Fab1) = P(Aprov)\), verifica-se que o fato de uma amostra aleatoriamente sorteada entre as peças do fabricante 1 não condiciona sua aprovação.

Exemplo: A probabilidade de um consumidor (\(C_{1}\)) ficar satisfeito com o desempenho de certa marca de produto é de 25%. A probabilidade de um outro consumidor (\(C_{2}\)) ficar satisfeito com a mesma marca é de 40%. Admitamos que os dois consumidores irão consumir o produto num mesmo momento e de forma independente (incomunicáveis). Qual a probabilidade de os dois consumidores ficarem satisfeitos simultaneamente?

Solução:

As probabilidades individuais dos consumidores 1 e 2 ficarem satisfeitos com o desempenho da marca do produto são:

\[\begin{align*} P(C_{1}) & = 0,25\\ P(C_{2}) & = 0,40 \end{align*}\]

A probabilidade de ambos ficarem satisfeitos, dado que o enunciado afirma que esses eventos são independente será:

\[\begin{align*} P(C_{1} \cap C_{2}) & = 0,25 \times 0,40\\ & = 0,10. \end{align*}\]