8.10 Intervalos de confiança

As técnicas para obter intervalos de confiança para estimativas amostrais de riscos relativos e odds ratio que serão apresentadas estão descritas no livro Statistics with Confidence (Douglas Altman _et a_l) e, embora se constituam em aproximações para grandes amostras, são estimativas razoáveis para pequenos estudos.

Através de uma transformação logarítmica, obtém-se uma curva com forma aproximadamente Normal e assim esses intervalos podem ser delimitados a partir da função densidade de probabilidade da distribuição Normal padronizada.

Para o intervalo de confiança da estimativa amostral da diferença de risco (risco atribuível) a proposição se encontra no artigo Statistical algorithms in Review Manager 5 de Jonathan J. Deeks e Julian P. T. Higgins e está baseada na distribuição da diferença de proporções.

\[ \log(IC_{(medida)}) = \log(medida) \pm \left[ z_{(1-\frac{\alpha}{2})} \times EP(\log(medida))\right] \]

em que:

\(EP(\log(medida))\) é o erro padrão do logaritmo da medida e os valores mínimo e máximo do intervalo de confiança serão dados por \(\exp{[\log((IC_{(medida)})]}\);
\(\alpha\) é o nível de significânica tolerado e, por conseguinte, \((1-\alpha)\) o nível de confiança pretendido; e,
e os valores de \(|z_{(1-\frac{\alpha}{2})}|\) poderão ser obtidos em uma tabela da distribuição Normal padronizada, sendo os mais usuais:

Valores críticos z_c correspondentes a vários níveis de significância (α)
Níveis de significância (α)	0,10	0,05	0,01	0,005	0,002
Valores críticos de z_c	-1,28	-1,645	-2,33	-2,58	-2,88
para testes unilaterais	ou 1,28	ou 1,645	ou 2,33	ou 2,58	ou 2,88
Valores críticos de z_c	-1,645	-1,96	-2,58	-2,81	-3,08
para testes bilaterais	e 1,645	e 1,96	e 2,58	e 2,81	e 3,08

8.10.1 Razão de risco (Risco relativo - RR)

Considere a estrutura dos dados presentes na Tabela para a estimação dos erros padrão a seguir.

\[ EP(\log(RR)) = \sqrt{ \left[ \frac{1}{(a)} - \frac{1}{(a) + (b)} \right] + \left[ \frac{1}{(c)} - \frac{1}{(c)+(d)} \right]} \]

O erro padrão do Risco Relativo - RR para os dados da Tabela poderá ser assim estimado:

\[\begin{align*} EP(\log(RR)) = & \sqrt{ \left[ \frac{1}{(a)} - \frac{1}{(a) + (b)} \right] + \left[ \frac{1}{(c)} - \frac{1}{(c)+(d)} \right] }\\ EP(\log(RR)) = & \sqrt{ \left[ \frac{1}{(275)} - \frac{1}{2.419} \right] + \left[ \frac{1}{311} - \frac{1}{4.807} \right] }\\ EP(\log(RR)) = & \sqrt{0,006230374} \\ EP(\log(RR)) = & 0,078932718 \end{align*}\]

Para um nível de confiança de 95% (nível de significância de 0,05%) extraímos o valor crítico de \(z_{(1-\frac{\alpha}{2})}\) da Tabela (\(z_{c}=|1,96|\)).

A partir do Risco relativo previamente calculado (1,76), um intervalo com nível de confiança de (\(1-\alpha=95\%\)) fica assim delimitado:

\[\begin{align*} \log(IC_{(RR)}) = & \log(RR) \pm \left[ z_{(1-\frac{\alpha}{2})} \times EP(\log(RR))\right] \\ \log(IC_{(RR)}) = & \log(1,76) \pm \left(1,96 \times 0, 078932718 \right) \\ \log(IC_{(RR)}) = & 0,565313809 \pm 0,154708127 \\ \text{Limite superior } IC_{(RR)} = & \exp{(0.7147081)} \\ = & 2,04359 \\ \text{Limite inferior } IC_{(RR)} = & \exp{(0.4052919)}\\ = & 1,49974 \end{align*}\]

Assim, o intervalo com nível de confiança (\(1-\alpha\)) estabelecido em 95% para a estimativa amostra do Risco relativo (RR) calculada em 1,76 é:

\[ IC_{RR (1-\alpha=0,95)} = [1,49974 ; 2,04359] \]

8.10.2 Razão de chances ( odds ratio - OR)

Considere a estrutura dos dados presentes na Tabela para a estimação dos erros padrão a seguir.

\[ EP(\log(OR)) = \sqrt{ \frac{1}{(a)} + \frac{1}{(b)} + \frac{1}{(c)} +\frac{1}{(d)} } \]

O erro padrão da Razão das chances ( odds ratio - OR) para os dados da Tabela poderá ser assim estimado:

\[\begin{align*} EP(\log(OR)) = & \sqrt{ \frac{1}{(a)} + \frac{1}{(b)} + \frac{1}{(c)} +\frac{1}{(d)} } \\ EP(\log(OR)) = & \sqrt{ \frac{1}{275} + \frac{1}{2.144} + \frac{1}{311} +\frac{1}{4.496} }\\ EP(\log(OR)) = & \sqrt{ 0,007540636}\\ EP(\log(OR)) = & 0,08683683 \end{align*}\]

Para um nível de confiança de 95% (nível de significância de 0,05%) extraímos o valor de \(z_{(1-\frac{\alpha}{2})}\) da Tabela (\(z_{c}=|1,96|\)).

A partir da Razão das chances previamente calculada (1,85), um intervalo com nível de confiança de (\(1-\alpha=95\%\)) fica assim delimitado:

\[\begin{align*} \log(IC_{(OR)}) = & \log(OR) \pm \left[ z_{(1-\frac{\alpha}{2})} \times EP(\log(OR))\right] \\ \log(IC_{(OR)}) = & \log(1,85) \pm \left(1,96 \times 0,08683683 \right) \\ \log(IC_{(OR)}) = & 0,6151856 \pm 0,1702002 \\ \text{Limite superior } IC_{(OR)} = & \exp{( 0.7853858)}\\ = & 2,193253 \\ \text{Limite inferior } IC_{(OR)} = & \exp{(0.4449854)} \\ = & 1,560467 \\ \end{align*}\]

Assim, o intervalo com nível de confiança (\(1-\alpha\)) estabelecido em 95% para a estimativa amostra da Razão de chances (OR) calculada em 1,85 é:

\[ IC_{OR (1-\alpha=0,95)} = [1, 560467 ; 2, 193253] \]

8.10.3 Diferença de risco (Risco atribuível - RA)

Considere a estrutura dos dados presentes na Tabela para a estimação dos erros padrão a seguir.

\[ EP(RA) = \sqrt{ \left [ \frac{a \times b}{(a+b)^3} \right ] + \left [ \frac{c \times d}{(c+d)^3} \right ] } \]

\[ IC_{(RA)} = RA \pm \left[ z_{(1-\frac{\alpha}{2})} \times EP(RA))\right] \]

O erro padrão da Diferença de Risco - RA para os dados da Tabela poderá ser assim estimado:

\[\begin{align*} EP(RA) = & \sqrt{ \left [ \frac{a \times b}{(a+b)^3} \right ] + \left [ \frac{c \times d}{(c+d)^3} \right ] }\\ EP(RA) = & \sqrt{ \left [ \frac{275 \times 2144}{(275+2.144)^3} \right ] + \left [ \frac{311 \times 4.496}{(311+4.496)^3} \right ] }\\ EP(RA) = & 0,007364887 \end{align*}\]

Para um nível de confiança de 95% (nível de significância de 0,05%) extraímos o valor de \(z_{(1-\frac{\alpha}{2})}\) da Tabela (\(z_{c}=|1,96|\)).

A partir da Diferença de risco previamente calculada (0,049), um intervalo com nível de confiança de (\(1-\alpha=95\%\)) fica assim delimitado:

\[\begin{align*} IC_{(RA)} = & RA \pm \left[ z_{(1-\frac{\alpha}{2})} \times EP(RA))\right] \\ IC_{(RA)} = & 0,049 \pm \left[ 1,96 \times 0,007364887 \right] \\ \text{Limite superior} = & 0,06343518 \\ \text{Limite inferior} = & 0,03456482 \end{align*}\]

Assim, o intervalo com nível de confiança (\(1-\alpha\)) estabelecido em 95% para a estimativa amostras da Diferença de risco (RA) calculada em 4,9% é:

\[ IC_{RA (1-\alpha=0,95)} = [3,46\% ; 6,34\%] \]