12.8 Teste de significância (global) do modelo

O modelo \(\hat{Y} = a + b \cdot X\) pode ser decomposto em duas partes:

variação explicada: \(a + b \cdot X\)
variação residual: \(\hat{Y}-Y\), a diferença entre um valor estimado e o realmente observado.

Se a variação explicada for significativamente superior à variação residual, teremos um bom indicativo de existe regressão linear entre as variáveis \(X\) e \(Y\) e o modelo a está explicando razoavelmente bem.

Essa verificação é realizada pela análise de variância.

Quadro para a Análise de variância do modelo
Fonte	Graus	Soma	Quadrados	F_cal	F_tab
da variação	de liberdade	de quadrados	médios
REGRESSÃO	k = 1	b ⋅ S_xy	\(QMREG = \frac{b \cdot S_{xy}}{1}\)	\(F_{calc}= \frac{QMREG}{QMRES}\)	F_{tab[1, (n − 2); α]}
RESÍDUOS	n-k-1 = n-2	S_yy − b ⋅ S_xy	\(QMRES = \frac{S_{yy} -b \cdot S_{xy}}{n-2}\)	-	-
TOTAL	k+(n-k-1) = n-1	S_yy	-	-	-

Sendo SQTOTAL = SQREG - SQRES, em que:

\[ SQRES = S_{yy} - b\cdot S_{xy}\\ S_{xy} = \sum _{i=1}^{n} x_{i}y_{i} - \frac{\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}\\ {S}_{yy}=\sum _{i=1}^{n} y_{i}^{2} - \frac{(\sum _{i=1}^{n} y_{i})^{2}}{n} \]

A verificação da existência ou não de regressão linear na população é necessário testar o parâmetro \(\beta\) e, para tanto, propomos as seguintes hipóteses:

\[ \begin{cases} H_{0}: \beta = \beta_{0} \\ H_{1}: \beta \ne 0 \end{cases} \]

Usualmente \(\beta_{0}=0\), indicando não haver regressão na população.

A estatística calculada (\({F}_{calc}\)) será comparada a uma estatística \(F_{tab}\) tabelada da Distribuição “F” (Ronald Aylmer Fisher-George Waddel Snedecor).

\(F_{tab}\) é o quantil de ordem \(\alpha\) da Distribuição “F” (Ronald Aylmer Fisher-George Waddel Snedecor) com graus de liberdade \(1,(n-2)\) (numerador e denominador, respectivamente).

Rejeita-se a hipótese nula (\(H_{0}\)) se:

\[ F_{calc}= \frac{QMREG}{QMRES} \ge F_{tab[1,(n-2); \alpha]} \]

em um teste unilateral à direita: \((\alpha)\in \text{right tail}\).

Vejam nessa simulação o gráfico da função densidade de probabilidade “F” (Ronald Aylmer Fisher-George Waddel Snedecor) com graus de liberdade no numerador e denominador: \(1, (n-2)\) e nível de significância \((\alpha)\in \text{right tail}\).

SIMULADOR 4

Exemplo 4 Uma indústria farmacêutica vende um remédio para aliviar os sintomas do resfriado. Após dois anos de operação ela coletou as informações trimestrais de vendas desse produto e despesas com sua propaganda. Estime um modelo de regressão linear simples e teste a existência da regressão pela ANOVA a um nível de significância de 5%

Quadro de despesas de propaganda (X) e receitas de vendas (Y)
Trimestre	Despesas (X)	Vendas (Y)
1	11	25
2	5	13
3	3	8
4	9	20
5	12	25
6	6	12
7	5	10
8	9	15

Quadro para cálculo das estimativas dos parâmetros do modelo
Trimestre	Despesas (X)	Vendas (Y)	X ⋅ Y	X²	Y²
1	11	25	275	121	625
2	5	13	65	25	169
3	3	8	24	9	64
4	9	20	180	81	400
5	12	25	300	144	625
6	6	12	72	36	144
7	5	10	50	25	100
8	9	15	135	81	225
Totais	60	128	1101	522	2352
Valor médio	7,50	16,00	-	-	-

Sendo \(n= 8\), \(\stackrel{-}{y}= 16\) e \(\stackrel{-}{x} = 7,50\), calculamos:

\[ S_{xy} = \sum _{i=1}^{n} x_{i}y_{i} - \frac{\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n} = 1101 - \frac{60 \cdot 128}{8} = 141 \\ S_{xx} = \sum _{i=1}^{n} x_{i}^{2} - \frac{(\sum _{i=1}^{n} x_{i})^{2}}{n} = 522 - \frac{60^2}{8} = 72\\ {S}_{yy} = \sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2} - \frac{(\sum _{i=1}^{n} y_{i})^{2}}{n}= 2352 - \frac{128^2}{8} = 304 \]

As estimativas dos parâmetros do modelo serão:

\[ b = \frac{S_{xy}}{S_ {xx}} = \frac{141}{72} = 1,9583\\ a = \stackrel{-}{y} - b\cdot\stackrel{-}{x} = 16 - 1,9583 \cdot 7,50 = 1,3125 \]

O modelo toma a seguinte forma:

\[ \hat{y} = 1,3125 + 1,9583 \cdot x \]

Quadro para análise de variância do modelo
Fonte da variação	Graus de liberdade	Soma de quadrados	Quadrados médios	F_cal	F_tab
REGRESSÃO	k = 1	b.S_xy = 1, 9583.141 = 276, 12	\(QMREG = \frac{b.S_{xy}}{1}=276,12\)	\(F_{calc} = \frac{QMREG}{QMRES} = 59,50\)	F_{tab[1, (n − 2); α]} = F_{tab[1, 6; 5%} = 5, 987
RESÍDUOS	n-k-1 = n-2 = 6	S_yy − b ⋅ S_xy = 304 − 1, 9583 ⋅ 141 = 27, 87	\(QMRES = \frac{S_{yy} -b \cdot S_{xy}}{n-2} = 4,64\)	—	—
TOTAL	k+(n-k-1) = n-1 = 7	S_yy = 304	—	—	—

Conclusão: frente ao resultado da análise dos dados rejeita-se a hipótese sob um nível de significância de 5%.

(SIMULADOR 4)