5.3 Esperança e variância de uma variável aleatória discreta

Coletando-se dados podemos analisá-los, por exemplo, em termos de sua distribuição, pelas estatísticas da média e variância.

De maneira análoga procedemos com variáveis aleatórias (discretas ou contínuas) onde dispomos das probabilidades de ocorrência associadas a cada um dos valores (discretos ou infinitos numeráveis) que ela pode assumir.

A esperança matemática (valor esperado ou expectância) de uma variável aleatória discreta é dada pela somatória do produto de cada um dos valores que ela pode assumir pela probabilidade associada a cada um desses valores.

Seja \(X\) uma variável aleatória discreta que pode assumir os valores \(x_{1},x_{2}, \dots x_{n}\); e sejam \(P_{1},P_{2}, \dots, P_{n}\) as respectivas probabilidades associadas às suas ocorrências.

A esperança da variável \(X\), denotada por \(E(X)\) será:

\[ E\left(X\right)=\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}.{P}_{i} \]

Com n sendo o número de possíveis resultados que a variável \(X\) pode assumir.

A expressão anterior é semelhante àquela usada para se calcular a média para frequências de dados sendo que agora, no lugar de se utilizar a frequência relativa a cada dado observado, temos as probabilidades dadas por um modelo teórico pressuposto.

Algumas propriedades envolvendo a esperança:

1- Se \(c\) é uma contante qualquer, então: \(E(c) = c\) (\(c \in \mathbb{R}\));
2- Se \(c\) é uma contante qualquer, então: \(E(c X) = c . E(X)\) (\(c \in \mathbb{R}\));
3- Se \(c\) é uma contante qualquer, então: \(E(X \frac{+}{-} c) = E(X) \frac{+}{-} c\) (\(c \in \mathbb{R}\));
4- Se \(X\) e \(Y\) são duas variáveis aleatórias quaisquer, então: \(E(X +/- Y) = E(X) +/- E(Y)\);
5- Se \(X\) e \(Y\) são duas variáveis aleatórias independentes quaisquer, então: \(E(X . Y) = E(X). E(Y)\).

A variância de uma variável aleatória qualquer \(X\), denotada por \(Var(X)\), será dada por:

\[\begin{align*} Var\left(X\right) & = \sum_{i=1}^{n} [{x}_{i} - E(X)]^{2}.{P}_{i} \end{align*}\]

Algumas propriedades envolvendo a variância:

1- Se \(c\) é uma contante qualquer, então: \(Var(c)=0\) (\(c\in\mathbb{R}\));

2- Se \(c\) é uma contante qualquer, então: \(Var(cX)=c^{2}.Var(X)\) (\(c\in\mathbb{R}\));

3- Se \(X\) e \(Y\) são duas variáveis aleatórias independentes quaisquer, então: \(Var(X \pm Y)=Var(X)+Var(Y)\);

4- Se \(X\) e \(Y\) são duas variáveis aleatórias quaisquer, então: \(Var(X \pm Y)=Var(X)+Var(Y) \pm 2Cov(X,Y)\) (também).

A covariância (\(Cov(X,Y)\)) entre duas variáveis aleatórias quaisquer \(X\) e \(Y\) é dada por:

\[ Cov \left(X,Y\right)= E(XY) - E(X)E(Y) \]

Exemplo: Seja \(X\) uma variável aleatória discreta que indica o número de pontos observados na face superior de um dado quando ele é lançado. Calcule a esperança e a variância dessa variável aleatória.

Função discreta de distribuição de probabilidades de X
x_i	P(X = x_i)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6
Total	1

\(E(X) = \frac{1}{6} . (1+2+3+4+5+6) = 3,50\)

\[\begin{align*} Var(X) & = (1-3,50)^{2}.(\frac{1}{6}) + (2-3,50)^{2}.(\frac{1}{6}) +\\ & (3-3,50)^{2}.(\frac{1}{6}) + (4-3,50)^{2}.(\frac{1}{6}) + (5-3,50)^{2}.(\frac{1}{6}) + \\ & (6-3,50)^{2}.(\frac{1}{6}) \\ & = 2,90 \end{align*}\]

Exemplo: Uma empresa de caminhões de aluguel possui uma frota composta de 4 veículos. O aluguel é cobrado por diária de uso de um caminhão e a função de distribuição de probabilidade de locações diárias está a seguir especificada. Calcule a esperança e a variância de locação diária dessa empresa.

Função discreta de distribuição de probabilidade de locações diárias
x_i	P(X = x_i)
0	0,10
1	0,20
2	0,30
3	0,30
4	0,10

\(E(X) = (0 . 0,10) + (1 . 0,20) + 2 . 0,30) + (3 . 0,30) + (4 . 0,10) = 2,10\) (caminhões por dia)

\[\begin{align*} Var(X) & = (0-2,10)^{2}.0,10 + (1-2,10)^{2}.0,20 + (2-2,10)^{2}.0,30 + \\ & (3-2,10)^{2}.0,30 + (4-2,10)^{2}.0,10 \\ & = 1,29^{1} \end{align*}\]

\(^{1}\): (caminhões por dia)\(^{2}\)